Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Типовой отчет. Для функции построить интерполяционный многочлен Лагранжа на отрезке [1; 1,2 ] по системе 3-х и 5-и равноотстоящих точек и вычислить его значения на отрезке
|
|
Для функции 
построить интерполяционный многочлен Лагранжа на отрезке [ 1; 1, 2 ] по системе 3-х и 5-и равноотстоящих точек и вычислить его значения на отрезке [ 1; 1, 2 ] с шагом Dх = 0, 01. Оценить в этих точках погрешность расчета, вычислить точные значения функции f(x) и определить фактическую погрешность.
1. Функции гиперболического синуса и косинуса являются возрастающими функциями на отрезке [ 1; 1, 2 ] и 
, 
, поэтому максимальные значения производных 3-го и 5-го порядка достигаются на правом конце отрезка:
,
Тогда погрешности интерполяционных формул будут равны:
,
.
2. Координаты узловых точек для интерполяционного многочлена Лагранжа 2-го порядка представлены в таблице.
| xi | 1.1 | 1.2 | |
| yi | 3.62686 | 4.457105 | 5.466229 |
Результаты расчетов представлены в таблице.
| x | y0p0(x) | y1p1(x) | y2p2(x) | L(x) | d2 | sh 2x | dф |
| 3.62686 | 3.62686 | 3.62686 | 4.44E-16 | ||||
| 1.01 | 3.100966 | 0.84685 | -0.24598 | 3.701835 | 0.001267 | 3.702835 | 0.000999 |
| 1.02 | 2.611339 | 1.604558 | -0.4373 | 3.778599 | 0.002134 | 3.78029 | 0.001691 |
| 1.03 | 2.157982 | 2.273124 | -0.57395 | 3.857152 | 0.002645 | 3.859258 | 0.002106 |
| 1.04 | 1.740893 | 2.852547 | -0.65595 | 3.937493 | 0.002845 | 3.939769 | 0.002277 |
| 1.05 | 1.360073 | 3.342829 | -0.68328 | 4.019623 | 0.002778 | 4.021857 | 0.002234 |
| 1.06 | 1.015521 | 3.743968 | -0.65595 | 4.103542 | 0.00249 | 4.105553 | 0.002011 |
| 1.07 | 0.707238 | 4.055966 | -0.57395 | 4.189249 | 0.002023 | 4.190891 | 0.001642 |
| 1.08 | 0.435223 | 4.278821 | -0.4373 | 4.276746 | 0.001423 | 4.277906 | 0.00116 |
| 1.09 | 0.199477 | 4.412534 | -0.24598 | 4.366031 | 0.000734 | 4.366632 | 0.000601 |
| 1.1 | 4.457105 | 4.457105 | 4.457105 | ||||
| 1.11 | -0.16321 | 4.412534 | 0.300643 | 4.549968 | 0.000734 | 4.549361 | 0.000607 |
| 1.12 | -0.29015 | 4.278821 | 0.655948 | 4.64462 | 0.001423 | 4.643436 | 0.001183 |
| 1.13 | -0.38082 | 4.055966 | 1.065915 | 4.74106 | 0.002023 | 4.739369 | 0.001691 |
| 1.14 | -0.43522 | 3.743968 | 1.530544 | 4.839289 | 0.00249 | 4.837198 | 0.002091 |
| 1.15 | -0.45336 | 3.342829 | 2.049836 | 4.939307 | 0.002778 | 4.936962 | 0.002345 |
| 1.16 | -0.43522 | 2.852547 | 2.62379 | 5.041114 | 0.002845 | 5.0387 | 0.002414 |
| 1.17 | -0.38082 | 2.273124 | 3.252406 | 5.14471 | 0.002645 | 5.142454 | 0.002255 |
| 1.18 | -0.29015 | 1.604558 | 3.935685 | 5.250094 | 0.002134 | 5.248266 | 0.001828 |
| 1.19 | -0.16321 | 0.84685 | 4.673626 | 5.357267 | 0.001267 | 5.356176 | 0.001091 |
| 1.2 | 5.466229 | 5.466229 | 5.466229 |
Фактическая погрешность меньше ее теоретической оценки. Отклонение от нуля фактической погрешности при х = 1 объясняется округлением в последнем разряде.
3. Координаты узловых точек для интерполяционного многочлена Лагранжа 4-го порядка представлены в таблице.
| xi | 1.05 | 1.1 | 1.15 | 1.2 | ||
| yi | 3.62686 | 4.021857 | 4.457105 | 4.936962 | 5.466229 | 3.62686 |
Результаты расчетов представлены в таблице.
| x | y0p0(x) | y1p1(x) | y2p2(x) | y3p3(x) | y4p4(x) | L(x) | d4 | sh 2x | dф |
| 3.6269 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 | 3.6269 | 3.6269 | 4.441E-16 | ||
| 1.01 | 2.3154 | 2.5676 | -1.8969 | 0.9005 | -0.1837 | 3.7028 | 1.42E-06 | 3.7028 | 1.135E-06 |
| 1.02 | 1.3579 | 4.0154 | -2.5031 | 1.1375 | -0.2274 | 3.7803 | 1.66E-06 | 3.7803 | 1.335E-06 |
| 1.03 | 0.6906 | 4.5946 | -2.1822 | 0.9400 | -0.1837 | 3.8593 | 1.27E-06 | 3.8593 | 1.022E-06 |
| 1.04 | 0.2553 | 4.5302 | -1.2551 | 0.5055 | -0.0962 | 3.9398 | 6.26E-07 | 3.9398 | 5.053E-07 |
| 1.05 | 0.0000 | 4.0219 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 | 4.0219 | 4.0219 | 8.882E-16 | |
| 1.06 | -0.1219 | 3.2432 | 1.3478 | -0.4424 | 0.0787 | 4.1056 | 4.48E-07 | 4.1056 | 3.641E-07 |
| 1.07 | -0.1509 | 2.3423 | 2.5958 | -0.7188 | 0.1224 | 4.1909 | 6.47E-07 | 4.1909 | 5.276E-07 |
| 1.08 | -0.1219 | 1.4414 | 3.5942 | -0.7583 | 0.1224 | 4.2779 | 5.97E-07 | 4.2779 | 4.885E-07 |
| 1.09 | -0.0638 | 0.6371 | 4.2360 | -0.5213 | 0.0787 | 4.3666 | 3.52E-07 | 4.3666 | 2.888E-07 |
| 1.1 | 0.0000 | 0.0000 | 4.4571 | 0.0000 | 0.0000 | 4.4571 | 4.4571 | ||
| 1.11 | 0.0522 | -0.4247 | 4.2360 | 0.7820 | -0.0962 | 4.5494 | 3.52E-07 | 4.5494 | 2.907E-07 |
| 1.12 | 0.0812 | -0.6178 | 3.5942 | 1.7694 | -0.1837 | 4.6434 | 5.97E-07 | 4.6434 | 4.949E-07 |
| 1.13 | 0.0812 | -0.5856 | 2.5958 | 2.8753 | -0.2274 | 4.7394 | 6.47E-07 | 4.7394 | 5.379E-07 |
| 1.14 | 0.0522 | -0.3604 | 1.3478 | 3.9812 | -0.1837 | 4.8372 | 4.48E-07 | 4.8372 | 3.736E-07 |
| 1.15 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 | 4.9370 | 0.0000 | 4.9370 | 4.9370 | ||
| 1.16 | -0.0638 | 0.4118 | -1.2551 | 5.5610 | 0.3848 | 5.0387 | 6.26E-07 | 5.0387 | 5.254E-07 |
| 1.17 | -0.1219 | 0.7658 | -2.1822 | 5.6400 | 1.0408 | 5.1425 | 1.27E-06 | 5.1425 | 1.069E-06 |
| 1.18 | -0.1509 | 0.9266 | -2.5031 | 4.9291 | 2.0466 | 5.2483 | 1.66E-06 | 5.2483 | 1.406E-06 |
| 1.19 | -0.1219 | 0.7336 | -1.8969 | 3.1518 | 3.4896 | 5.3562 | 1.42E-06 | 5.3562 | 1.203E-06 |
| 1.2 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 | 5.4662 | 5.4662 | 5.4662 | 8.882E-16 |
Фактическая погрешность меньше ее теоретической оценки. Отклонение от нуля фактической погрешности в некоторых узловых точках объясняется округлением в последнем разряде.
Варианты.
Для заданных функций построить интерполяционный многочлен Лагранжа на отрезке [ 1; 1, 2 ] по системе 3-х и 5-и равноотстоящих точек и вычислить его значения на отрезке [ 1; 1, 2 ] с шагом Dх = 0, 01. Оценить в этих точках погрешность расчета, вычислить точные значения функции f(x) и определить фактическую погрешность.
| Вариант | ||||||||
| Функция | e x | e –x | sh x | ch x | sin x | cos x | ln x | 1/x |
| Вариант | ||||||||
| Функция | e 2x | e –2x | sh 1, 5x | ch 2x | sin 2x | cos 2x | ln 2x | 2/x |
| Вариант | ||||||||
| Функция | e 3x | e –3x | sh 3x | ch 3x | sin 3x | cos 3x | ln 3x | 3/x |