Элементы теории.

Пусть данные некоторого эксперимента представлены в виде таблицы значений переменных x и y:

Ставится задача об отыскании аналитической зависимости между x и y, то есть некоторой формулы y = f(x), явным образом выражающей y, как функцию х. Естественно требовать, чтобы график искомой функции y = f(x) изменялся плавно и не слишком уклонялся от экспериментальных точек
(x_i, y_i). Поиск такой зависимости называют " сглаживанием" экспериментальных данных или " подгонкой" кривой.

Эту задачу можно решить, используя метод наименьших квадратов (МНК). Согласно МНК указывается вид эмпирической формулы

y = Q(x, a₀ , a₁ , …, a_n),

где a₀ , a₁ , …, a_n – числовые параметры.

Наилучшими значениями параметров a₀ , a₁ , …, a_n, которые обозначим , считаются те, для которых сумма квадратов уклонений функции y = Q(x, a₀ , a₁ , …, a_n) от экспериментальных точек (x_i, y_i), i = 1, 2, …, m является минимальной, то есть функция

в точке достигает минимума. Используя необходимые условия экстремума функции нескольких переменных, получаем систему уравнений для определения параметров :

.

Если система имеет единственное решение , то оно является искомым и аналитическая зависимость между экспериментальными данными определяется формулой:

.

В общем случае система уравнений для определения оптимальных значений параметров нелинейна.

Рассмотрим аппроксимирующие зависимости с двумя параметрами
у = Q(x, a, b). Используя необходимые условия экстремума функции двух переменных, получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными a и b:

.

В частном случае аппроксимации экспериментальных данных с помощью линейной функции имеем:

.

Система уравнений для определения оптимальных параметров аппроксимирующей прямой в этом случае линейна относительно неизвестных k и b:

Ее решением является:

.

Пусть для переменных x и y соответствующие значения экспериментальных данных (x_i, y_i) не располагаются вблизи прямой. Тогда можно выбрать новые переменные X = j (x, y) и Y = y (x, y) так, чтобы преобразованные экспериментальные данные X_i = j (x_i, y_i) и Y_i = y (x_i, y_i) в новой системе координат (X, Y) давали точки (X_i, Y_i), менее уклоняющиеся от прямой
Y = kX + b. Числа k и b определяются по приведенным выше формулам, где вместо x_i и y_i подставляют соответствующие значения x_i и y_i. Функциональная зависимость y = f(x) определена неявно уравнением
y (x, y) = kj (x, y) + b, которое разрешимо относительно y в частных случаях.

Рассмотрим шесть вариантов преобразования переменных, в которых возможно явное выражение переменной y из уравнения
y (x, y) = kj (x, y) + b. В таблице приведены формулы преобразования переменных, явная эмпирическая формула y = f(x), зависящая от двух параметров a и b, выражение этих параметров через коэффициенты, полученные с помощью МНК.

№	Выравнивание данных (преобразование переменных)	Эмпирическая формула
1.	X = x, Y = xy
2.
3.
4.
5.
6.

Условием выбора наилучшей эмпирической формулы является наименьшее уклонение исходных данных от графика полученной зависимости, которое в каждом варианте выравнивания данных определяется величиной:

.

Для наилучшей эмпирической формулы величина d_j, j = 0¸ 6 является наименьшей, j = 0 соответствует случаю, когда преобразования переменных не производится, то есть X_i = x_i и Y_i = y_i.

Качество подгонки данных к прямой можно оценить с помощью коэффициента регрессии:

.

Известно, что | r | £ 1. Чем ближе | r | к единице, тем ближе зависимость между X и Y к линейной функциональной.

Естественно, что если не удается удовлетворительно построить функциональную зависимость, используя вид эмпирической формулы с двумя параметрами, то можно продолжать поиски среди формул с большим числом параметров.