Порядок выполнения лабораторной работы.

Пример 1. Найти ряд Фурье для функции

.

Представить графическое приближение этой функции с помощью тригонометрических многочленов степеней n = 1-5. Оценить погрешности среднеквадратического приближения.

Определяем коэффициенты Фурье:

,

.

.

Вычислим интеграл от квадрата функции f(x) на отрезке [ 1, -1 ]:

. (14)

Норма функции f(x) на отрезке [ 1, -1 ]:

. (15)

Формулы для вычисления среднеквадратических отклонений аппроксимирующих многочленов перепишем в следующем виде:

, (16)

. (17)

В рассматриваемом примере l = 1.

Оформляем вычисления в рабочем листе MS Exsel. Вид рабочего листа приведен на рисунке. Фиксируем необходимые в расчетах число p, интеграл (14) и норму (15): В2 = " =ПИ() ", D2 = " 1.33333", F2 = " 1.1547". В диапазоне А3: А7 з аполняем столбец заголовков для таблицы расчета коэффициентов Фурье. В диапазоне B3: G3 расположены номера коэффициентов, ячейка В4 = " 1.5" (значение коэффициента а₀), С4 = " =(COS($B$2*C3)-1)/($B$2*C3)^2" и протяжка формулы на диапазон D4: G4 (ввод формулы ), C5 = " =-1/$B$2/C3" и протяжка формулы на диапазон D5: G5 (ввод формулы ), ячейка С6 = " =КОРЕНЬ(D2-(B4^2/2+C4^2+C5^2))" (формула (16) для ), D6 = " =КОРЕНЬ(C6^2-(D4^2+D5^2))" (формула (17) для ) и протягиваем формулу на диапазон E6: G6 (формула (17) для остальных среднеквадратичных погрешностей ), С7 = " =C6/$F$2" и протягиваем формулу на диапазон D7: G7 (формула (9) для точности приближений аппроксимационных полиномов).

Оформляем таблицу для вычисления значений аппроксимационных многочленов. В диапазоне В9: G9 располагаем заголовки столбцов. В диапазоне В10: В30 размещаем значения аргумента с шагом Dх = 0, 1 на отрезке
x Î [ 0, 1 ]. Будем использовать следующие модификации формул для вычисления значений тригонометрических многочленов (учитывая, что l = 1):

,

.

Ячейка С10=" =$B$4/2+($C$4*COS($B$2*B10)+$C$5*SIN($B$2 *B10))" и протяжка формулы в диапазон С10: С30 (ввод многочлена Q₁), ячейка D10= " =C10+(D$4*COS(D$3*$B$2*$B10)+D$5*SIN(D$3*$B$2* $B10))" и протяжка формулы в диапазон D10: G30 (ввод многочленов Q_k,
k = 1¸ 5). На исходных данных из диапазона B9: G30 строим графики тригонометрических многочленов с помощью мастера диаграмм, используя точечную диаграмму со значениями, соединенными сглаженными значениями без маркеров, и применяя соответствующее форматирование. Толстая линия, соответствующая исследуемой функции, нанесена на чертеж от руки с помощью панели инструментов " Рисование".

Отчет к лабораторной работе должен содержать вычисление интегралов для коэффициентов Фурье и нормы заданной функции, таблицы расчета и график, приведенный на расчетом листе MS Excel.

Пример 2. Функцию

разложить в ряд Фурье по синусам. Представить графическое приближение этой функции с помощью тригонометрических многочленов степеней n₁ = 1,
n₂ = 3, n₃ = 5. Оценить погрешности среднеквадратического отклонения.

Функцию f(x) доопределим нечетным образом на промежутке [ -2, 0 ] (см. рис.). Полученную функцию f ^*(x) разложим в ряд Фурье:

;

Ряд Фурье функции f ^*(x) имеет вид:

Этот ряд сходится поточечно к функции f(x) на отрезке
[ 0, 2 ]. Частичные суммы ряда являются многочленами наилучшего приближения функции f(x) на отрезке
[ 0, 2 ].

,

,

.

Вычислим интеграл от квадрата функции f(x) на отрезке
[ 0, 2 ]:

.

Норма функции f(x) на отрезке [ 0, 2 ]:

.

Найдем погрешность среднеквадратического приближения полиномами Q₁(x), Q₃(x), Q₅(x) по формуле (8):

,

,

.

Тогда оценка точности аппроксимационных многочленов по формуле (9) равна:

.

При аппроксимации функции, заданной на отрезке [ 0, l ], следует изменить формулы (16)-(17) для расчета среднеквадратических отклонений аппроксимирующих многочленов:

, (18)

. (19)

Остальные расчеты выполняются также, как и в примере 1. В данном примере l = 2. Результаты этого расчета в рабочем листе MS Excel приведены на рисунке.

Варианты.

Найти ряд Фурье функции f(x), представить графические приближения этой функции с помощью тригонометрических многочленов степени
n = 1¸ 5. Оценить погрешность и точность полученных приближений.

1.		2.	, разложить по косинусам
3.	, разложить по косинусам	4.
5.		6.
7.	, разложить по косинусам	8.	, разложить по синусам
9.	,	10.
11.		12.
13.		14.	, разложить по косинусам
15.		16.
17.		18.
19.		20.
21.		22.
23.		24.
25.