Элементы теории. Пусть на множестве точек xi , i = 1, 2, , m задана функция f(x)и определена система функций gk(x)

Пусть на множестве точек x_i, i = 1, 2, …, m задана функция f(x) и определена система функций g_k(x), k = 1, 2, …. Скалярным произведением функций g_k(x) и g_l(x) на множестве точек x_i, i = 1, 2, …, m называется сумма произведений значений функций, вычисленных во всех точках, то есть

. (1)

Число является нормой функции g_k(x) на множестве точек x_i, i = 1, 2, …, m.

Функции g_k(x) и g_l(x) называются ортогональными на множестве точек, если их скалярное произведение на этом множестве равно нулю, то есть

. (2)

Система функций g_k(x), k = 1, 2, … называется ортогональной x_i, i = 1, 2, …, m, если все функции этой системы попарно ортогональны на этом множестве.

Коэффициенты C₀ , C₁ , …, C_n обобщенного многочлена

(3)

называются коэффициентами Фурье функции f(x) относительно ортогональной системы функций, если они определяются по формулам

(4)

Теорема. Для функции f(x), определенной на множестве x_i, i = 1, 2, …, m, обобщенный многочлен n - ой степени Q_n(x) с коэффициентами Фурье относительно ортогональной на множестве точек системы функций g_k(x) является многочленом наилучшего среднеквадратичного приближения этой функции, причем квадрат наименьшего среднеквадратичного отклонения определяется соотношением

, (5)

где С_k – коэффициенты Фурье, определяемые по формулам (4).

Оценка погрешности приближения определяется величиной

. (6)

Многочленами Чебышева на множестве точек x_i, i = 1, 2, …, m называются алгебраические многочлены, ортогональные на этом множестве, с нормой , отличной от нуля, и определяемые следующими рекуррентными соотношениями:

(7)

где , (8)

(9)

Многочлен g_m(x) степени m на множестве точек x_i, i = 1, 2, …, m, полученный по рекуррентным формулам (7)-(9), на этом множестве имеет норму, равную нулю, и не является многочленом Чебышева.