Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Элементы теории. Интегральное среднеквадратическое приближение
|
|
Quot; Интегральное среднеквадратическое приближение
функций тригонометрическими многочленами"
Элементы теории
Пусть на отрезке [ a, b ] задана функция f(x) и определена система функций gk(x), k = 0, 1, 2, … Обобщенным многочленом (полиномом) порядка n относительно системы функций gk(x) называют функцию вида:
,
где С0 , С1 , …, Сn – некоторые постоянные.
Обобщенный многочлен Qn(x) называют многочленом наилучшего среднеквадратичного приближения функции f(x) на отрезке [ a, b ], если расстояние от многочлена до функции f(x) по среднеквадратичной норме наименьшее:
. (1)
Таким образом, сформулирована задача об интегральном среднеквадратичном приближении (аппроксимации) функции f(x) на отрезке [ a, b ] обобщенным многочленом, которая сводится к выбору коэффициентов С0 , С1 , …, Сn из условия (1).
Задача нахождения многочлена наилучшего приближения Qn(x) функции f(x) на отрезке [ a, b ] упрощается, если система функций gk(x) обладает свойством ортогональности на отрезке [ a, b ].
Скалярным произведением функций gi(x) и gj(x) на отрезке [ a, b ] называется интеграл от их произведения на этом отрезке:
.
Число 
является нормой функции gi(x) на отрезке [ a, b ], а функция f(x), для которой существует интеграл 
, называется интегрируемой с квадратом на отрезке [ a, b ].
Функции gi(x) и gj(x) называется ортогональными на отрезке [ a, b ], если их скалярное произведение на этом отрезке равно нулю:
.
Система функций gk(x) называется ортогональной на отрезке [ a, b ], если все функции этой системы попарно ортогональны на этом отрезке.
Коэффициенты С0 , С1 , …, Сn обобщенного многочлена называются коэффициентами Фурье функции f(x) относительно системы функций gk(x), если они определяются по формулам:
. (2)
Теорема. Для любой функции f(x), интегрируемой с квадратом на отрезке [ a, b ], обобщенный многочлен n -го порядка Qn(x) с коэффициентами Фурье функции f(x) относительно ортогональной на отрезке [ a, b ] системы функций gk(x), k = 1, 2, … является многочленом наилучшего среднеквадратичного приближения этой функции, причем квадрат наименьшего среднеквадратичного отклонения определяется соотношением:
, (3)
где Сk – коэффициенты Фурье, вычисленные по формуле (2).
Из (3) видно, что с увеличением порядка обобщенного многочлена среднеквадратичное отклонение не увеличивается.
Пусть задана система тригонометрических функций на отрезке [ -l, l ]:
(4)
Тригонометрическим многочленом n -ой степени называют обобщенный многочлен по системе тригонометрических функций, имеющий вид:
, (5)
где С0 , С1 , …, Сn, D1 …, Dn – некоторые числа.
Система тригонометрических функций ортогональна на отрезке
[ -l, l ].
На основании теоремы для функции f(x), интегрируемой с квадратом на отрезке [-l, l], тригонометрическим многочленом наилучшего среднеквадратичного приближения является тригонометрический многочлен
(6)
где коэффициенты Фурье по системе тригонометрических функций для функции f(x) определяются формулами (2) и имеют вид:
(7)
Среднеквадратичное отклонение аппроксимирующего многочлена от функции f(x), вычисляемое по формуле (3), в данном случае имеет вид:
(8)
Среднеквадратичное отклонение, отнесенное к норме аппроксимируемой функции 
, характеризует точность приближения и обозначается
(9)
В частном случае, когда f(x) – четная функция на отрезке [ -l, l ], тригонометрический многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения записывается в виде:
, (10)
где коэффициенты Фурье
(11)
Для нечетной функции f(x) на отрезке [ -l, l ] тригонометрический многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения записывается в виде:
, 
(12)
Тригонометрический многочлен (6) с коэффициентами Фурье (7) представляет собой n -ю частичную сумму ряда Фурье, сходящегося к функции f(x) на отрезке [ -l, l ]:
. (13)