Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Типовой отчет. Построить кубический сплайн, интерполирующий функцию y = sh 2x на отрезке [1,00; 1,20] для равномерного разбиения с шагом h = 0,04 при краевых условиях I и II
|
|
Построить кубический сплайн, интерполирующий функцию
y = sh 2x на отрезке [ 1, 00; 1, 20 ] для равномерного разбиения с шагом
h = 0, 04 при краевых условиях I и II типа. Найти значения сплайна в точках от х = 1 до точки х=1, 2 с шагом Dх = 0, 01. Получить оценку точности сплайн-интерполяции и сравнить ее с фактическойпогрешностью вычислений.
1. Вычислим производные:
.
Вычислим максимальный модуль производной 3-го порядка функции f(x) на отрезке [ 1; 1, 2 ]. Так как функция гиперболического косинуса является положительной возрастающей функцией на отрезке [ 1; 1, 2 ], то:
,
Тогда погрешности интерполяционных формул будут равны:
.
2. Проводим вычисления для сплайн-интерполяции с краевыми условиями I типа.
Таблица расчета производных в узловых точках.
| Исходные данные | Прямая прогонка | Обратная прогонка | ||||
| i | xi | yi | bi | Li | Mi | mi |
| 3.62686 | 7.524391382 | 7.524391 | 7.5243914 | |||
| 1.04 | 3.939769 | 48.82843956 | -0.25 | 10.32601 | 8.1293968 | |
| 1.08 | 4.277906 | 52.77502804 | -0.26667 | 11.31974 | 8.7864609 | |
| 1.12 | 4.643436 | 57.05955686 | -0.26786 | 12.25174 | 9.4997878 | |
| 1.16 | 5.0387 | 61.70946166 | -0.26794 | 13.25183 | 10.273945 | |
| 1.2 | 5.466229 | 11.11389433 | 11.113894 |
3. Расчет значений сплайна приведен в таблице.
| xi | S(x) | f(x) | dф |
| 3.62686 | 3.62686 | 6.21725E-15 | |
| 1.01 | 3.702835 | 3.702835 | 2.21603E-07 |
| 1.02 | 3.78029 | 3.78029 | 3.918E-07 |
| 1.03 | 3.859258 | 3.859258 | 2.14875E-07 |
| 1.04 | 3.939769 | 3.939769 | 6.66134E-15 |
| 1.05 | 4.021856 | 4.021857 | 2.5465E-07 |
| 1.06 | 4.105552 | 4.105553 | 4.39829E-07 |
| 1.07 | 4.190891 | 4.190891 | 2.4086E-07 |
| 1.08 | 4.277906 | 4.277906 | 7.10543E-15 |
| 1.09 | 4.366632 | 4.366632 | 2.7341E-07 |
| 1.1 | 4.457105 | 4.457105 | 4.75035E-07 |
| 1.11 | 4.549361 | 4.549361 | 2.60847E-07 |
| 1.12 | 4.643436 | 4.643436 | 7.99361E-15 |
| 1.13 | 4.739369 | 4.739369 | 2.94761E-07 |
| 1.14 | 4.837198 | 4.837198 | 5.11055E-07 |
| 1.15 | 4.936962 | 4.936962 | 2.7832E-07 |
| 1.16 | 5.0387 | 5.0387 | 4.70735E-14 |
| 1.17 | 5.142454 | 5.142454 | 3.30555E-07 |
| 1.18 | 5.248265 | 5.248266 | 5.749E-07 |
| 1.19 | 5.356176 | 5.356176 | 3.21851E-07 |
| 1.2 | 5.466229 | 5.466229 | 9.76996E-15 |
Фактическая погрешность на 4 порядка меньше теоретической. Отличие от нуля фактической погрешности в узловых точках объясняется округлением результата в последнем разряде разрядной сетки.
4. Проводим вычисления для сплайн-интерполяции с краевыми условиями II типа.
Таблица расчета производных в узловых точках.
| Исходные данные | Прямая прогонка | Обратная прогонка | ||||
| I | xi | yi | bi | Li | Mi | ni |
| 3, 62686 | 14, 50744163 | 14, 50744 | 14, 507442 | |||
| 1, 04 | 3, 939769 | 94, 60490423 | -0, 25 | 20, 02437 | 15, 748657 | |
| 1, 08 | 4, 277906 | 102, 7245193 | -0, 26667 | 22, 05337 | 17, 102833 | |
| 1, 12 | 4, 643436 | 111, 5019221 | -0, 26786 | 23, 95943 | 18, 56453 | |
| 1, 16 | 5, 0387 | 120, 9933178 | -0, 26794 | 25, 99951 | 20, 140968 | |
| 1, 2 | 5, 466229 | 21, 86491685 | 21, 864917 |
5. Расчет значений сплайна приведен в таблице.
| xi | S(x) | f(x) | dф |
| 3, 62686 | 3, 62686 | 2, 66454E-15 | |
| 1.01 | 3, 702834 | 3, 702835 | 7, 82876E-07 |
| 1.02 | 3, 780289 | 3, 78029 | 9, 74459E-07 |
| 1.03 | 3, 859257 | 3, 859258 | 5, 27591E-07 |
| 1.04 | 3, 939769 | 3, 939769 | 3, 55271E-15 |
| 1.05 | 4, 021857 | 4, 021857 | 9, 62726E-08 |
| 1.06 | 4, 105553 | 4, 105553 | 2, 68738E-07 |
| 1.07 | 4, 190891 | 4, 190891 | 1, 42602E-07 |
| 1.08 | 4, 277906 | 4, 277906 | 3, 55271E-15 |
| 1.09 | 4, 366632 | 4, 366632 | 3, 45649E-07 |
| 1.1 | 4, 457105 | 4, 457105 | 5, 7674E-07 |
| 1.11 | 4, 549361 | 4, 549361 | 3, 41166E-07 |
| 1.12 | 4, 643436 | 4, 643436 | 3, 55271E-15 |
| 1.13 | 4, 739369 | 4, 739369 | 1, 64183E-07 |
| 1.14 | 4, 837198 | 4, 837198 | 2, 75326E-07 |
| 1.15 | 4, 936962 | 4, 936962 | 5, 53042E-08 |
| 1.16 | 5, 0387 | 5, 0387 | 2, 39808E-14 |
| 1.17 | 5, 142454 | 5, 142454 | 7, 80627E-07 |
| 1.18 | 5, 248264 | 5, 248266 | 1, 41611E-06 |
| 1.19 | 5, 356175 | 5, 356176 | 1, 1336E-06 |
| 1.2 | 5, 466229 | 5, 466229 | 4, 44089E-15 |
Фактическая погрешность на 3-4 порядка меньше теоретической. Отличие от нуля фактической погрешности в узловых точках объясняется округлением результата в последнем разряде разрядной сетки.
Варианты.
Построить кубический сплайн, интерполирующий заданную функцию на отрезке [ 1, 00; 1, 20 ] для равномерного разбиения с шагом h = 0, 04 при краевых условиях I и II типа. Найти значения сплайна в точках от х = 1 до точки х=1, 2 с шагом Dх = 0, 01. Получить оценку точности сплайн-интерполяции и сравнить ее с фактическойпогрешностью вычислений.
| Вариант | ||||||||
| Функция | e x | e –x | sh x | ch x | sin x | cos x | ln x | 1/x |
| Вариант | ||||||||
| Функция | e 2x | e –2x | sh 1, 5x | ch 2x | sin 2x | cos 2x | ln 2x | 2/x |
| Вариант | ||||||||
| Функция | e 3x | e –3x | sh 3x | ch 3x | sin 3x | cos 3x | ln 3x | 3/x |