Порядок выполнения лабораторной работы. Пример. Функция y = f(x) = sh 2x определена на отрезке [1; 1,2]

Пример. Функция y = f(x) = sh 2x определена на отрезке [ 1; 1, 2 ]. Выбрав шаг h=0, 05 найти значения производных и в узловых точках со вторым порядком аппроксимации. Оценить погрешность вычислений. Сравнить результаты с точным решением.

Вид рабочего листа табличного процессора MS Excel приведен на рисунке.

1. Так как h=0, 05, то задано 5 узловых точек: x₀ = 1, 0; x₁ = 1, 05;
x₂= 1, 1; x₃ = 1, 15; x₄ = 1, 2.

Перед началом расчетов вычислим необходимые производные функции f(x) = sh 2x:

.

Так как функции гиперболического синуса и гиперболического косинуса являются возрастающими положительными на отрезке [ 1; 1, 2 ], то оценки погрешностей вычислений при расчете первых и вторых производных равны (учитывая, что максимум производных достигается в точке х=1, 2):

,

.

2. В диапазоне А2: А11 размещаем заголовки строк.

3. В диапазон B2: F2 заносим абсциссы узловых точек x_i, i =0, …, 4; ячейка В2=”1”, ячейка С2=”1.05” и протягиваем диапазон B2: C2 до ячейки F2. Вычисляем значения функции f(x) = sh 2x в узлах: ячейка В3 = " =SINH(2*B2)" и протягиваем формулу на диапазон С3: F3.

4. Вычисляем значение первой производной. В узле х₀ используем формулу : ячейка В4=" =(-3*B3+4*C3-D3)/0.1". В узлах x_i, i=1, 2, 3 используем формулу : ячейка С4 =
" =(-B3+D3)/0.1" и протягиваем формулу в диапазон D4: E4. В узле х₄ используем формулу : ячейка F4=" =(D3-4*E3+3*F3)/0.1".

5. Вычисляем значение второй производной. В узле х₀ используем формулу : ячейка В5=" оройтягиваеи формулу в диапазон водной. В узле =(2*B3-5*C3+4*D3-E3)/0.0025". В узлах x_i, i=1, 2, 3 используем формулу : ячейка С5 = " =(B3-2*C3+D3)/0.0025" и протягиваем формулу в диапазон D5: E5. В узле х₄ используем формулу : ячейка F5=" =(-C3+4*D3-5*E3+ 2*F3)/0.0025".

6. Вычисляем погрешности вычислений первой производной. В узле х₀ используем формулу : ячейка В6= " =0.0025*8*COSH(2.4)/3". В узлах x_i, i=1, 2, 3 используем формулу : ячейка С6 = " =0.0025*8*COSH(2.4)/6" и протягиваем формулу в диапазон D6: E6. В узле х₄ используем формулу : ячейка F6=" =0.0025*8*COSH(2.4)/3".

7. Вычисляем погрешности вычислений второй производной. В узле х₀ используем формулу : ячейка В7= " =11*0.0025*16*SINH(2.4)/12". В узлах x_i, i=1, 2, 3 используем формулу : ячейка С7 = " =0.0025*16*SINH(2.4)/12" и протягиваем формулу в диапазон D7: E7. В узле х₄ используем формулу : ячейка F7= " =11*0.0025*16*SINH(2.4)/12".

8. Вычисляем фактические значения первой производной по формуле : ячейка В8 = " =2*COSH(2*B2)" и протягиваем формулу в диапазон C8: F8. Вычисляем фактические значения второй производной по формуле : ячейка В9 = " =4*SINH(2*B2)" и протягиваем формулу в диапазон C9: F9.

9. Вычисляем фактические погрешности вычислений первой производной по формуле : ячейка В10 = " =ABS(B4-B8)" и протягиваем формулу в диапазон C10: F10. Вычисляем фактические погрешности вычислений второй производной по формуле : ячейка В11 = " =ABS(B5-B9)" и протягиваем формулу в диапазон C11: F11.

Результаты расчетов показывают, что фактические погрешности вычислений производных меньше их теоретических оценок.