Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Последовательность. Предел последовательности.
|
|
Числовой последовательностью называют бесконечное упорядоченное множество чисел (перенумерованное множество чисел).
Задают числовую последовательность с помощью общего члена xn.
{xn} - числовая последовательность с общим членом xn.
Например: {xn}={2; 3; 4; 5; …}, xn=n+1;
{an}={1; 1/2; 1/3; …}, an=1/n;
{bn}={-1; 1; -1; 1, …}, bn=(-1)n.
1) Определение (на языке ε): Число a называют пределом числовой последовательности {xn}, при n стремящемся к бесконечности (n®¥), если для любого, сколь угодно малого, положительного числа e, найдется номер последовательности N, зависящий от 
, начиная с которого выполняется неравенство |xn–a|< e.
Û " e> 0 $ N(): " n> N, выполняется |xn–a|< e.
(a-e; a+e) ‒ e-окрестность точки a.
2) Определение (на языке окрестности): Число a называется пределом последовательности {xn} при n®¥, если для любого сколь угодно малого положительного числа e, найдется такой номер последовательности N, начиная с которого члены последовательности будут находится в e- окрестности точки a.
Пример: Покажем по определению, что пределом числовой последовательности {xn} с общим членом xn= 
, является число a=0, то есть 
.
Возьмем сколь угодно малое положительное e. Попробуем найти такой номер последовательности N, начиная с которого выполняется неравенство
| – 0|< e. " e> 0 $ N: " n> N выполняется | - 0|< e. Снимаем модуль –0< e. Если перевернуть обе части неравенства, то перевернем знак: n> 
. В качестве N берется целая часть 
: N=[ ].
3) 
, если " A> 0 $N: " n> N выполняется xn> A.
, если " A< 0 $N: " n> N выполняется xn< A.
, если " A> 0 $N: " n> N выполняется |xn| > A.