Предел функции.

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки a, за исключением, может быть самой точки.

1) Определение предела функции на языке :

Число А называется пределом функции f(x) при x®a, если для любого сколь угодно малого положительного числа e найдется число d(e)> 0 такое, что для всех x, отличных от a и удовлетворяющих неравенству |x-a|< d, следует неравенство |f(x)-A|< e.

Þ " e> 0 $d> 0: из |x-a|< d Þ |f(x)-А|< e.

A

Интервал (a-d, a+d) на оси ОХ называется дельта-окрестностью точки a.

Интервал (A-e, A+e) на оси ОY называется эпсилон-окрестностью точки A.

Функция y=f(x) переводит каждую точку из d-окрестности точки a на оси ОХ внутрь ε -окресности точки А на оси ОY.

2) Определение предела на языке окрестности:

Число A называется пределом функции при x®a, если для любой сколь угодно малой e-окрестности точки A на оси ОY найдется d-окрестность точки a на оси ОХ, которую функция переводит в e-окрестность.

3) Определение предела на языке последовательности:

Число A называется пределом функции f(x) при x®a, если для любой последовательности {x_n}, сходящейся к точке a, соответствующая последовательность значений функции {f(x_n)} сходится к A.

4) Правый и левый пределы.

Определение: Если есть x_n®a и x_n< a, то число A называется левым пределом функции при x®a-0.

.

Определение: Если x_n®a и x_n> a, то число A называют правым пределом функции при x®a+0.

.

Такие пределы называются односторонние.

Замечание 1: Для существования предела функции не требуется, чтобы функция была определена в самой точке x=a, достаточно того, что она определена в ее окрестности.

Замечание 2: На последовательность {x_n} можно смотреть как на функцию натурального аргумента x_n=f(n), nÎ N. Поэтому все свойства пределов и теоремы для пределов функции справедливы и для предела последовательности.