Типовой отчет. Задание 1.Найти решение задачи Коши для системы двух обыкновенных дифференциального уравнений первого порядка:

Задание 1. Найти решение задачи Коши для системы двух обыкновенных дифференциального уравнений первого порядка:

с начальными условиями y(1) = 0, z(1) = 2 на отрезке x Î [ 1; 2 ] на сетке с числом шагов m = 5 и m = 10, оценить по правилу Рунге точность расчетов и сравнить с точным решением .

Используется следующий алгоритм решения системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта четвертого порядка:

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Практическую оценку погрешности решения, найденного на сетке с шагом 0, 1 производим с помощью приближенного правила Рунге, учитывая, что используемый метод имеет четвертый порядок точности:

.

Результаты расчетов приведены в таблице (см. рисунок).

Задание 2. Задачу Коши для дифференциального уравнения

преобразовать к задаче Коши для системы двух дифференциальных уравнений первого порядка и решить с помощью разработанного расчетного листа, внеся в него соответствующие изменения. Точное решение .

Преобразуем уравнение к задаче Коши для системы двух дифференциальных уравнений первого порядка, используя обозначения предыдущего примера:

y(0) = 1, z(0) = 0.

Точное значение функции z получено дифференцированием функции у: .

Решение выполняется потому же алгоритму, что и в первом задании.

Результаты расчетов приведены в таблице (см. рисунок).

Варианты

Задание 1. Найти решение задачи Коши для системы двух обыкновенных дифференциального уравнений первого порядка с заданными начальными условиями y(х₀ ) = у₀ , z(x₀ ) = z₀ на отрезке x Î [ a; b ] на сетке с числом шагов m = 5 и m = 10, оценить по правилу Рунге точность расчетов и сравнить с точным решением .

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.

Задание 2. Задачу Коши для данного дифференциального уравнения второго порядка преобразовать к задаче Коши для системы двух дифференциальных уравнений первого порядка. Найти решение системы классическим методом Рунге-Кутта на сетке отрезка [ a, b ] с шагами h = 0, 2 и
h/2 = 0, 1. Оценить погрешность численного решения по правилу Рунге. Сравнить численное решение с известным аналитическим решением.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6.

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. .

20. .

21. .

22. .

23. .

24. .