Элементы теории. Краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка формулируется следующим образом

Краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка формулируется следующим образом. Требуется найти функцию y=y(x), которая внутри отрезка [ a, b ] удовлетворяет уравнению

, (1)

а на концах отрезка – краевым условиям:

(2)

Пусть краевые условия имеют вид: у(а) = А, у(b) = B. Тогда геометрически решение уравнения (1) представляет собой интегральную кривую y=y(x), проходящую через заданные точки M(a, A) и N(b, B).

Пусть теперь для уравнения (1) известны значения производных искомой функции в граничных точках у¢ (а) = А₁, у¢ (b) = B₁. Тогда геометрически решение уравнения (1) представляет собой интегральную кривую y=с, которая пересекает прямые x = a и y = b соответственно под углами a = arctg A₁ и b = arctg B₁.

Если для уравнения (1) в одной граничной точке известно значение искомой функции у(а) = А, а в другой – значение производной функции у¢ (b) = B₁, то такая краевая задача называется смешанной. Геометрически решение уравнения (1) означает, что надо найти интегральную кривую y=y(x), которая проходит через точку M(a, A) и пересекает прямую и y = b под углом b = arctg B₁.

Если дифференциальное уравнение и краевые условия линейны, то такая задача называется линейной. В этом случае дифференциальное уравнение и краевые условия имеют вид:

(3)

(4)

где p(x), q(x), g(x) – известные непрерывные функции на отрезке [ a, b ] функции, a₀ , a₁ , b₀ , b₁ , A, B – заданные постоянные, причем , . Если f(x) = 0 при a £ x £ b, то уравнение называется однородным, а в противном случае – неоднородным. Если А = В = 0, то соответствующее краевое условие называется однороднымаевое условим, а в противном случае - неоднородным. точках. Если и дифференциальное уравнение и краевые условия однородны, то краевая задача называется однородной.

К задаче (3)-(4) могут быть сведены некоторые задачи стационарной теплопроводности и диффузии..

Рассмотрим краевую задачу (3)-(4). Пусть x₀ = a, x_n = b, x_i = x₀ + ih,
i = 1, 2, …, n-1 – система равноотстоящих узлов с некоторым шагом
h = (b – a)/n и p_i=p(x_i), q_i=q(x_i), g_i=g(x_i). Полученные в результате расчета приближенные значения искомой функции у(х) и ее производных у¢ (х), у² (х) в узлах x_i обозначим соответственно y_i, . Аппроксимируем производные во внутренних узлах сетки со вторым порядком точности:

, (5)

а для концевых точек x₀ = a, x_n = b – с первым порядком:

. (6)

Подставляя аппроксимации (5)-(6) в краевую задачу (3)-(4), после преобразований получим:

(7)

(8)

Полученная разностная схема имеет в общем случае первый порядок аппроксимации из-за необходимости использовать формулы (6) в краевых точках. Но если используются краевые условия первого типа (a₁ = 0 и b₁ =0), то аппроксимации (6) в разностной схеме (7)-(8) не участвуют и порядок точности повышается до второго.

Введем обозначения:

(9)

. (10)

Тогда разностная схема (7)-(8) переходит в приведенную форму:

(11)

Система (11) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей размера (N-1)´ (N-1):

Для решения краевой задачи (11) можно использовать вариант метода исключения, называемый методом прогонки. Предполагается, что имеет место соотношение:

(12)

Для определения неизвестных коэффициентов a_i+1 и b_i+1 соотношение (12) подставляется в систему (11) и из сравнения сомножителей при одинаковых значениях функции y_i получают необходимые выражения.

Алгоритм метода состоит из двух шагов:

а) в прямой прогонке вычисляются значения коэффициентов a_i+1 и b_i+1:

(13)

(14)

(15)

(16)

б) в обратной прогонке вычисляются искомые значения функции y_i:

(17)

(18)

Практическую оценку погрешности решения, найденного на сетке с шагом h/2, в точке x_i Î [ a, b ] производят с помощью приближенного равенства - правила Рунге:

, (19)

где р – порядок точности численного метода. Таким образом, оценка полученного результата по формуле (19) вынуждает проводить вычисления дважды: один раз с шагом h, другой – с шагом h/2. Порядок точности р = 1 для краевой задачи с краевыми условиями 2-го и 3-го типов и р = 2 для краевой задачи с краевыми условиями 1-го типа.