Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Типовой отчет
|
|
Найти решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка:
на отрезке [ 0, p/2 ] со смешанными краевыми условиями
при a0 = 1, a1 = 2, b0 = 3, b1 = -1, A = 4, B = 6 методом прогонки с n = 10 и
n = 20, по правилу Рунге оценить точность расчета при n = 20, сравнить решение с точным ут = 2 sin x. Положив a1 = b1 = 0, вычислить коэффициенты А и В, найти решение полученной краевой задачи с краевыми условиями первого типа методом прогонки с n = 10 и n = 20, по правилу Рунге оценить точность расчета при n = 20, сравнить решение с точным.
Результаты решения краевой задачи со смешанными краевыми условиями при n = 10 и n = 20 представлены на рисунках. Максимальная ошибка при расчете исходной краевой задачи реализована при i = 0 для расчета с
n = 10. Для расчета с n = 20 этому узлу также соответствует узел i = 0. Краевая задача со смешанными краевыми условиями имеет 1-ый порядок аппроксимации, поэтому прогноз ошибки по правилу Рунге производится по формуле: 
.
Проведем расчет для краевой задачи с краевыми условиями 1-го типа. Так как точное решение у = 2 sin x, то с учетом того, что по условию
a0 = 1, a1 = 0, b0 = 3, b1 = 0, находим остальные константы граничных условий:
A = 1× 2sin(0) = 0, B=3× 2sin(p/2) = 6.
Результаты решения краевой задачи с краевыми условиями 1-го типа при n = 10 и n = 20 представлены на рисунках. Максимальная ошибка при расчете исходной краевой задачи реализована при i = 4 для расчета с n = 10. Для расчета с n = 20 этому узлу также соответствует узел i = 8. Краевая задача со краевыми условиями 1-го типа имеет 2-ой порядок аппроксимации, поэтому прогноз ошибки по правилу Рунге производится по формуле: 
.
Результаты расчета функции в узлах с максимальными ошибкой для обеих сеток и задач с краевыми условиями (КУ) обоих типов, точные значения функции, прогноз ошибки в этих узлах по правилу Рунге и фактические значения ошибки приведены в таблице.
| Задача | Смешанные КУ | КУ 1-го типа |
| y(h) | 0, 108638 | 1, 175258 |
| y(h/2) | 0, 059537 | 1, 175494 |
| yт | 1, 175571 | |
| d | 0, 049101 | 7, 87× 10 -5 |
| dф | 0, 059537 | 7, 62× 10 -5 |
Прогнозные и фактические отклонения хорошо согласуются, что подтверждает правильность расчетов.
Варианты
Найти решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка:
на отрезке [ a, b ] со смешанными краевыми условиями
методом прогонки с n = 10 и n = 20, по правилу Рунге оценить точность расчета при n = 20, сравнить решение с точным ут. Положив a1 = b1 = 0, вычислить коэффициенты А и В, найти решение полученной краевой задачи с краевыми условиями первого типа методом прогонки с n = 10 и n = 20, по правилу Рунге оценить точность расчета при n = 20, сравнить решение с точным.
1. p(x) = - x, q(x) = 4, g(x) = -2x sin 2x, yт = cos 2x, x Î [ 0, p/2 ],
a0 = 1, a1 = 3, b0 = 2, b1 = -1, A = 1, B = -2
2. p(x) = 1/x, q(x) = x2 , g(x) = 2x2 ln x, yт = 2 ln x, x Î [ 1, e ],
a0 = 2, a1 = 1, b0 = -1, b1 = e, A = 2, B = 0
3. p(x) = - x2, q(x) = 3x , g(x) = 4x2 +6 x, yт = x3+2x, x Î [ 0, 1 ],
a0 = 2, a1 = -3, b0 = 1, b1 = 2, A = -6, B = 13
4. p(x) = - sin x, q(x) = cos x , g(x) = - 3 sin x, yт = 3 sin x, x Î [ p/2, p ],
a0 = 1, a1 = 4, b0 = -3, b1 = 2, A = 3, B = -6
5. p(x) = 2/x, q(x) = - sin x , g(x) = - (2 sin x) /x, yт = 2/x, x Î [ 1, 2 ],
a0 = 3, a1 = -1, b0 = - 2, b1 = - 4, A = 8, B = 0
6. p(x) = 1/x, q(x) = - 1/x2 , g(x) = -(2 ln x)/x2, yт = 2 ln x - x, x Î [ 1, 2 ],
a0 = 1, a1 = -e, b0 = - 1, b1 = e2, A = 0, B =-2
7. p(x) = 2x, q(x) = - 2x cos x , g(x) = - sin x – x sin 2x, yт = sin x + 1,
x Î [ 0, p/2 ], a0 = 3, a1 = 2, b0 = - 1, b1 = -2, A = 5, B =-2
8. p(x) = ln 2x, q(x) = - 1/x , g(x) = -1/x2, yт = ln 2x, x Î [ 1/2, e/2 ],
a0 = 4, a1 = -1, b0 = - 3, b1 = e, A = - 2, B = - 1
9. p(x) = sin x, q(x) = - 6/x2 , g(x) = -(2 sin x)/x3, yт = 1/x2, x Î [ 1, 2 ],
a0 =2, a1 = 1, b0 = 4, b1 = 8, A = 0, B = - 1
10. p(x) = x, q(x) = 1 , g(x) = 1-2x sin x, yт = 2cos x + 1, x Î [ p/2, p ],
a0 =2, a1 = 1, b0 = 4, b1 = 8, A = 0, B = - 1
11. p(x) = x, q(x) = 4 , g(x) = 2x cos 2x, yт = sin2x, x Î [ 0, p ],
a0 =1, a1 = 2, b0 = 1, b1 = 1, A = 4, B = 2
12. p(x) = -x2 , q(x) = 2x , g(x) = 2(x + 1), yт = x2 + 1, x Î [ 0, 1 ],
a0 =1, a1 = 2, b0 = 1, b1 = -1, A = 1, B = 0
13. p(x) = cos x , q(x) = -sin x , g(x) = - (cos x + sin x), yт = cos x + 1,
x Î [ 0, p/2 ], a0 =1, a1 = 2, b0 = 1, b1 = 1, A = 2, B = 0
14. p(x) = x cos 2x , q(x) = 2x sin 2x , g(x) = - 4 cos 2x, yт = cos 2x,
x Î [ 0, p/2 ], a0 =3, a1 = 1, b0 = 1, b1 = 2, A = 3, B = - 1
15. p(x) = ln x , q(x) = -1/x , g(x) = - 2/x2, yт = 2 ln x, x Î [ 1, e ],
a0 =1, a1 = - 1, b0 = - 1, b1 = e, A = - 2, B = 0
16. p(x) = - x , q(x) = 3 , g(x) = 12x, yт = x3 + 2x, x Î [ 0, 1 ],
a0 =1, a1 = - 1, b0 = 1, b1 = - 1, A = - 2, B = -2
17. p(x) = xsin x , q(x) = - x cos x , g(x) = -2 sin x, yт = 2 sin x,
x Î [ 0, p/2 ], a0 =2, a1 = 1, b0 = 1, b1 = 2, A = 2, B = 2
18. p(x) = sin x , q(x) = sin x / x , g(x) = 6 / x3, yт = 3 / x, x Î [ 1, 3 ],
a0 =1, a1 = 2, b0 = 1, b1 = 9, A = -3, B = 0
19. p(x) = 1 / x , q(x) = - 1 / x2 , g(x) = 1 – 4x2, yт = ln x – 2x, x Î [ 1, e ],
a0 = - 2, a1 = 1, b0 = 1, b1 = 2e2, A = 3, B = 1 – 4e2
20. p(x) = x2 sin x , q(x) = - x2 cos x , g(x = x2 cos x – sin x, yт = sin x -1,
x Î [ p/2, p ], a0 = 1, a1 = 3, b0 = 1, b1 = - 2, A = 0, B = 1
21. p(x) = x ln 2x , q(x) = -1 , g(x) = – 1 / x2, yт = ln 2x, x Î [ 1/2, e/2 ],
a0 = 1, a1 = 3, b0 = - 1, b1 = e, A = 6, B = 1
22. p(x) = 3 / x, q(x) = sin x , g(x) = (sin x) / x2, yт = 1 / x2, x Î [ 1, 2 ],
a0 = 1, a1 = - 2, b0 = 1, b1 = 1, A = 5, B = 0
23. p(x) = x cos x, q(x) = x sin x , g(x) = - 3 cos x+2x sin x, yт=3cos x+2,
x Î [ 0, p/2 ], a0 = 1, a1 = 2, b0 = - 1, b1 = 1, A = 5, B = - 5
24. p(x) = - 2x3, q(x) = 4x, g(x) = 4(x + 1), yт = 2x2 + 1, x Î [ 0, 1 ],
a0 = 2, a1 = - 1, b0 = - 1, b1 = 1, A = 2, B = 1
Лабораторная работа № 18
«Решение задач эллиптического типа»