Элементы теории. Типичным примером дифференциального уравнения в частных производных второго порядка параболического типа является уравнение теплопроводности

Типичным примером дифференциального уравнения в частных производных второго порядка параболического типа является уравнение теплопроводности, описывающее процесс распространения тепла в одномерном стержне
0 < x < l:

, (1)

где u = u(x, t) – температура в точке х стержня в момент t, с – теплоемкость единицы массы, r - плотность, с - теплоемкость единицы длины, k - коэффициент теплопроводности, f₀ – плотность тепловых источников. Если k, c, r постоянны, то (1) можно записать в виде

, (2)

где - коэффициент температуропроводности. Без ограничения общности можно считать a = 1, l = 1. Действительно, вводя переменные , , , получим

.

Будем рассматривать краевую задачу (иногда говорят начально-краевую задачу) в области со смешанными краевыми условиями:

(3)

В области введем сетку

с шагами h по х и t по t. Пусть - сеточная функция, принимаемая в качестве приближения искомой функции u(x, t). Аппроксимируем производную по пространственной переменной разностным выражением на временном слое :

~ .

Можно аппроксимировать производную по пространственной переменной разностным выражением на временном слое :

~ .

Рассматриваются аппроксимации, представляющие собой линейные комбинации значений при и :

~ .

Производную по t заменим разностным отношением:

~ .

Обозначим - некоторую правую часть, например . Тогда при s = 0, 5 дифференциальное уравнение в задаче (3) аппроксимируется следующим разностным выражением:

(4)

В качестве начальных условий задаем:

. (5)

Аппроксимацию краевых условий

(6)

выполним также, как в лабораторной работе № 17 " Решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка". Тогда после алгебраических преобразований разностная схема для задачи (4)-(6) примет вид:

(7)

где (8)

, (9)

. (10)

Значения на новом слое находятся методом прогонки. вычисления продолжаются до достижения заданного момента времени Т. Рассмотренный алгоритм называется разностной схемой Кранка-Николсона.

Можно показать, что погрешность аппроксимации разностной схемы (7)-(10) имеет второй порядок по обеим переменным O(t² + h² ).

Схема Кранка-Николсона безусловно устойчива по начальным данным на множестве непрерывных функций для полностью однородной задачи (т.е. f = a₁ = b₁ = A = B = 0, a₀ = b₀ = 1). Но опыт расчетов показывает, что на сеточных начальных и граничных условия, а так же правых частях с большими градиентами эволюционное решение может осcцилировать и даже становится бесконечным. Это означает, что для конкретных задач существует ограничение на шаг по времени при фиксированном шаге пространственной переменной. Данное ограничение выясняется эмпирическим путем в результате тестовых расчетов.

Рассмотрим разные формы граничных условий:

1. Если на границе х=с задана температура T_c, то граничное условие в точке имеет вид: u(c) = T_c.

2. Если на границе х=с задан тепловой поток q_c, то граничное условие в точке имеет вид: u¢ (c) = q_c.

3. Если на границе х=с задано условие u¢ (c) = 0, то это означает, что данная граница теплоизолирована.

4. Если температура окружающей среды равна T₀ , то условие теплообмена с окружающей средой имеет вид: u¢ (c) = a(Т - T₀ ), где a - коэффициент теплопроводности.