Расчет первой коммутации

Рисунок 2 - Схема первой коммутации

Дано: Е = 100 В;

L = 125 мГн;

r₁ = 20 Ом;

r₂ = 50 Ом;

С = 120 мкФ.

1.1.1 Определение независимых начальных условий из анализа и расчёта схемы до коммутации при t = -0:

(1.1.1)

1.1.2 Определение корней характеристического уравнения. Характеристическое уравнение составляется по выражению для комплексного сопротивления схемы после коммутации при замене (jw) на p:

тогда характеристическое уравнение имеет вид:

LCp² +(r₁+ r₃)Cp + 1 = 0; (1.1.2)

(1.1.3)

Подставляем данные в уравнение (1.1.3):

После подстановки данных получаем разные вещественные отрицательные корни:

1.1.3 Определение выражения искомого тока i ₁(t) в переходном процессе:

(1.1.4)

Ток установившегося режима i _1уст = 0, так как заряженный конденсатор оказывает бесконечно большое сопротивление установившемуся постоянному току, ведет себя как разрыв.

Так как корни вещественные отрицательные свободная составляющая записывается в виде:

. (1.1.5)

Ток переходного процесса:

(1.1.6)

где А₁, A₂ – постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.

В уравнении (1.1.6) две неизвестные величины, поэтому продифференцируем уравнение (1.1.6):

При t = 0 получим:

(1.1.7)

Для определения (0) составляем уравнение по второму закону Кирхгофа для схемы после коммутации для момента времени t = 0:

(1.1.8)

С учётом независимых начальных условий i ₁(0) = 0 и u_C(0) = 0 определим:

(0) .

Подставив найденные значения в систему (1.1.7) найдём A₁ и A₂:

Из A₁ = A₂ следует:

Искомый ток в переходном режиме:

График изменения тока i₁(t) в переходном процессе для первой коммутации представлен на рисунке 6.

1.1.5 Расчитываем напряжение на конденсаторе u_C(t) в переходном процессе:

(1.1.9)

Так как корни вещественные отрицательные свободная составляющая записывается в виде:

где В₁; B₂ - постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.

Конденсатор последовательно с источником в пределе заряжается до поэтому:

В переходном процессе:

Второе уравнение для определения В₁ и В₂ получаем из выражения для тока в емкости:

1.1.6 При t = 0 получаем систему уравнений:

После подстановки данных получаем:

Искомая зависимость в переходном процессе:

.

1.1.7 Спустя время происходит замыкание в цепи второго ключа.

Определим ток и напряжение в индуктивности на конец первой коммутации и начало второй коммутации:

A;