Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Формула Симпсона
|
|
Применяя интерполяционную формулу Лагранжа при n = 2, получим значения коэффициентов:
.
(6.15)
Геометрический смысл формулы Симпсона (6.15) заключается в том, что кривая y = y (x) заменяется частью параболы, проходящей через три точки
(x 0, y 0), (x 1, y 1) и (x 2, y 2).
Формула Симпсона точна не только для полинома второй степени, но и для полинома третьей степени в силу симметрии, показанной на рис. 6.4б.
Рис.6.4
Остаточный член формулы (6.15) имеет порядок O(h 5).
Общая формула Симпсона строится для четного n = 2 m,; при этом применяя формулуа (6.15) применяется для каждого из отрезков [ x 0, x 2], [ x 2, x 4], …, [ xn –2, xn ]:
. (6.16)
Поменять местами второе и третье; h/3 вынести за знак суммы
Остаточный член общей формулы Симпсона (6.16) имеет порядок O(h 4).
Пример 6.2. Вычислить по формуле Симпсона (6.16) интеграл
,
используя разбиение отрезка на n = 10 частей.
Решение. Проведем вычисления в программе Excel. В столбце A и B запишем значения индекса i и переменной x. В ячейку B 2 вводим формулу =sin(B2)/B2 и маркером заполнения копируем в ячейки B 3: B 12. В ячейках D 2: D 12 вводим коэффициенты при yi общей формулы Симпсона (6.16). В ячейку D 13 вводим формулу =СУММПРОИЗВ(C2: C12; D2: D12)*0, 1/3. Результаты вычислений приведены в таблице 6.2.
Табл. 6.2
| A | B | C | D | |
| i | xi | yi | Коэффициенты | |
| 1, 1 | 0, 909091 | |||
| 1, 2 | 0, 833333 | |||
| 1, 3 | 0, 769231 | |||
| 1, 4 | 0, 714286 | |||
| 1, 5 | 0, 666667 | |||
| 1, 6 | 0, 625 | |||
| 1, 7 | 0, 588235 | |||
| 1, 8 | 0, 555556 | |||
| 1, 9 | 0, 526316 | |||
| 0, 5 | ||||
| Интеграл= | 0, 693150231 |
Найдем относительную погрешность
Как видим, формула Симпсона дает более высокую точность по сравнению с методом трапеций.
Создадим в файле программы Excel для решения примера 6.2 макрос — функцию для вычисления интеграла по формуле Симпсона (6.16).
С помощью меню «Сервис — Макроc — Редактор Visual Basic» откроем окно редактора, выполним команду «Insert — Module» и введем программы
Function f(x): f = 1 / x: End Function
Function Int_Simpson(a, b, n)
s = 0: h = (b - a) / n: h2 = h * 2: x = a
For i = 0 To n - 2 Step 2
s = s + f(x) + 4 * f(x + h) + f(x + h2): x = x + h2
Next i
Int_Simpson = h * s / 3: End Function
Теперь, если в ячейку D 14 введем формулу =Int_Simpson(1; 2; 10), получим приближенное значение 0, 693150231.