Алгоритм метода Филона.

1. Зададим N. Вычислим узловые точки:

h = (b – a)/ N; x_i = a + ih, i = 0, 1, …, N; (6.33)

2. Вычислим параметры:

; p ₂ = 0, 00001; (6.34)

(6.35)

(6.36)

3. Вычислим сумму:

(6.37)

Пример 6.5. Вычислить интеграл .

Решение в Mathcad. Интеграл можно вычислить точно интегрированием по частям:

Вычислим значение полученного выражения в программе Mathcad (Обратите внимание, i — мнимая единица, для её ввода нужно нажать указателем мыши на букву i на панели инструментов «Калькулятор»):

Интересно отметить, что встроенная программа вычисления интеграла дает практически тот же результат

Применим алгоритм (6.33) — (6.37) в Mathcad:

Как видим, результат метода Филона дает четыре верных знака после запятой при числе узлов N = 320. Вычислим число нулей подынтегральной функции:

На каждую полуволну приходится примерно два узла.

Воспользуемся формулой трапеций при тех же узлах:

Формула трапеций дает неверный результат. Если мы увеличим число узлов до 1600, то метод Филона дает пять верных знаков после запятой, а метод трапеций — всего два.

Замечание. Если амплитуда f (x) = 1, то метод Филона дает точное значение интеграла при любом числе узлов, так как в этом случае на каждом промежуточном отрезке применяется формула Ньютона-Лейбница и не используется замена подынтегральной функции приближенной.