Формулы Ньютона-Котеса высших порядков

Полагая в формулах (6.6) n = 3, можно вычислить значения коэффициентов A_i

и получить квадратурную формулу Ньютона

. (6.17)

Формула (6.17) имеет погрешность того же порядка, что и формула Симпсона (6.15), т.е. O(h ⁵) [7].

Приведем таблицу значений коэффициентов Котеса [7] (табл.6.3).

Таблица 6.3.

n	H 0	H 1	H 2	H 3	H 4	H 5	H 6	Множитель для получения Ai
								h
								2 h
								3 h
								4 h
								5 h
								6 h

Например, квадратурная формула Ньютона-Котеса для n = 5 имеет вид:

. (6.18)

Квадратурные формулы с нечетным числом узлов (n = 2, 4, 6) являются более удобными, т.е. выгоднее применять формулу Симпсона (6.15), чем формулу Ньютона (6.17), так как при одном и том же порядке погрешности, формула Ньютона требует больше узлов (и больше вычислений), чем формула Симпсона. Аналогично, формула для n = 4 лучше, чем формула для n = 5 и т.д.

Пример 6.3. Вычислить по формуле (6.18) интеграл

,

используя разбиение отрезка на n = 10 частей.

Решение. Проведем вычисления в программе Excel. В столбце A и B запишем значения индекса i и переменной x. В ячейку B 2 вводим формулу =sin(B2)/B2 и маркером заполнения копируем в ячейки B 3: B 12. В ячейках D 2: D 12 вводим коэффициенты при y_i из таблицы 6.3. В ячейку D 13 вводим формулу =СУММПРОИЗВ(C2: C12; D2: D12)*0, 1*5/288. Результаты вычислений приведены в таблице 6.3.

Табл. 6.3

Найдем относительную погрешность