Уточнение корней методом простой итерации

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 13Следующая ⇒

Другим представителем итерационных методов является метод простой итерации.

Здесь уравнение f(x)=0 заменяется равносильным уравнением x=j (x) и строится последовательность значений

Если функция j (x) определена и дифференцируема на некотором интервале, причем |j /(x)|< 1, то эта последовательность сходится к корню уравнения x=j (x) на этом интервале.

Геометрическая интерпретация процесса представлена на рис. 7. Здесь первые два рисунка (а, б) демонстрируют одностороннее и двустороннее приближение к корню, третий же (в) выступает иллюстрацией расходящегося процесса (|j /(x)| > 1).

а	б	в

Рис. 7. Геометрическая интерпретация метода простой итерации

Если f '(x)> 0, то подбор равносильного уравнения можно свести к замене x=x-l Ч f(x), т.е. к выбору j (x)= x-l Ч f(x), где l > 0 подбирается так, чтобы в окрестности корня 0 < j '(x)=1- l Ч f '(x) Ј 1. Отсюда может быть построен итерационный процесс

где M і max |f '(x)| (в случае f '(x)< 0 возьмите функцию f(x) с противоположным знаком).

Возьмем для примера уравнение x³ + x -1000 = 0. Очевидно, что корень данного уравнения несколько меньше 10. Если переписать это уравнение в виде x =1000 - x³ и начать итерационный процесс при x₀=10, то из первых же приближений очевидна его расходимость. Если же учесть f '(x)=3x²+1> 0 и принять за приближенное значение максимума f '(x) M=300, то можно построить сходящийся итерационный процесс на основе представления

Можно и искусственно подобрать подходящую форму уравнения, например:

или .

Заметим, что существуют и другие методы (наискорейшего спуска, Эйткена-Стеффенсена, Вегстейна, Рыбакова и т.д.) уточнения корней, обладающие высокой скоростью сходимости.

Преобразуем функцию в вид x=g(x). Получим

x= -e^x

	x	G(x)	Y=x

-5	-0, 006738	-5
-4	-0, 018316	-4
-3	-0, 049787	-3
-2	-0, 135335	-2
-1	-0, 367879	-1
	-1, 000000
	-2, 718282
	-7, 389056
	-20, 085537
	-54, 598150
	-148, 413159

Листинг программы в приложении

Результат работы программы

Vvedite po porjadku 2 chisla

Nachalnoe znachenie i tochost epsilon/10

-1 0.01

x=-3.6787944117E-01

Pogreshnost pribligenija d= 6.3212055883E-01