Задача Коши

Задача Коши, , - начальные данные:

Решением задачи Коши является функция, определённая на интервале < a, b>, включающем , являющаяся решением уравнения (1) и удовлетворяющая начальному условию (2).

Определение. Решением интегрального уравнения:

является функция , которая определена на < a, b> и

1. (непрерывна)
2. < a, b>
3. подстановка превращает уравнение (3) в тождество.

Лемма. Функция является решением задачи Коши тогда и только тогда, когда она является решением интегрального уравнения.

Доказательство. Пусть - решение задачи Коши и

Проинтегрируем тождество от до :

Теперь пусть - решение интегрального уравнения, покажем, что она есть решение дифф. уравнения и удовлетворяет начальному условию. Для этого вначале подставим в (3) :

Продифференцируем (3) и получим (1)

Определение. , заданная на , удовлетворяет условию Липшица, если

Заметим, что если функция удовлетворяет условию Липшица, то она является равномерно непрерывной на (для док-ва замечания надо взять )

Определение. Последовательность функций является равномерно ограниченной если

Определение. Последовательность функций называется равнестепенно непрерывной, если