Единственность решения задачи Коши

Определение. Функция f удовлетворяет локальному в области G условию Липшица по переменной y, если окрестность и постоянная

Теорема. Если функция f удовлетворяет локальному условию Липшица, тогда решение задачи Коши единственное

Доказательство. От противного. Пусть существует два решения , определённые на и . В точке решения по условию задачи Коши, но . Пусть .

Рассмотрим точку всех точек , таких что .

Множество точек непустое и ограниченное.

Поскольку непрерывны, супремум - максимум, значит и {}

на (1)

на (2)

В силу условия теоремы удовлетворяет локальному условию Липшица некоторая окрестность верно как только

Вычтем (1) из (2): на Проинтегрируем неравенство на :

Заменим отрезок на меньший

. Выберем , чтобы оказалось . Получаем что , чего быть не может.

Определение. Функция удовлетворяет локальному в области G условию Осгуда по переменной , если диаметра и функция такие что

Теорема. Если функция f удовлетворяет локальному условию Осгуда, тогда решение задачи Коши единственно.

Доказательство. Пусть у задачи Коши 2 решения: Повторяя доказательство предыдущего утверждения, приходим к тому, что функциия удовлетворяет на отрезке тождеству на .

Поделим обе части неравенства на : всюду на

на . Проинтегрируем на :

. Устремим . , второй интеграл - противоречие.