Метод прямоугольников

Простейшим методом численного интегрирования является метод прямоугольников. Он непосредственно использует замену определенного интеграла интегральной суммой:

.

(1)

Разобьём интервал интегрирования [ a, b ] на n равных частей. Обозначим

х_i = h шаг разбиения. Площадь под кривой может быть получена как сумма площадей прямоугольников, основаниями которых являются отрезки , а высотами – ординаты , . Эта площадь приближенно выражает интеграл функции на отрезке :

. (1)

. Выбирая в (1) в качестве точек левые = х_i-1 или правые

= х_i границы элементарных отрезков, соответственно, для этих двух случаев можно записать формулы левых и правильных прямоугольников:

	(2)
.	(3)

С геометрической точки зрения означают, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной дугой кривой y=f(x), осью Ох и прямыми х=а и х=b, принимается приближенно равной площади ступенчатой фигуры, образованной из n прямоугольников с основаниями , где n - число интервалов разбиения и высотами: y₀, y₁, y₂, …, y_n-1 – в случае формулы (2) (рис.1) и y₁, y₂, y₃, …, y_n – в случае формулы (3) (рис.2).

Рис 1. Левые прямоугольники

Рис. 2. Правые прямоугольники

Более точным является формула средних прямоугольников, использующая значения функции в средних точках элементарных отрезков: точка . В этом случае площадь криволинейной трапеции заменяется суммой прямоугольников с основанием h и высотами, равными значениям функции f (x) в середине оснований (рис.3).

Рис.3. Средние прямоугольники

Получим формулу средних прямоугольников:

(4)

Рис.4. Блок-схема метода прямоугольников