Перехід від зображень до оригіналів.

В операторному методі розрахунку перехідних процесів у складних електричних колах необхідно вміти знаходити функції по відомому зображенню. Існують три шляхи вирішення цієї проблеми.

1. Обернене перетворення Лапласа

.

Цим прийомом, як правило користуються, після ознайомлення з правилами інтегрування комплексних функцій на комплексній площині.

2. Перехід від оригіналу до зображення і навпаки здійснюється за допомогою таблиць відповідностей, що заздалегідь складені для найбільш характерних функцій.

3. Використання формул розкладання (формул Хевісайда).

Зупинимося детально на третій позиції. Нехай зображення є правильна дріб, тобто

.

Згідно однієї із центральних теорем алгебри правильну дріб можна подати у вигляді суми скінченої кількості простих дробів

,

де корені многочлена , тобто . Знаємо, що . Скориставшись лінійністю перетворення Лапласа, можемо записати, що

.

Як знайти ? Помножимо праву та ліву частини () на і знайдемо границю при

.

Скористаємося правилом Лопіталя для знаходження

.

Отже

,

і, нарешті

.

Формула () називається першою формулою Хевісайда.

Друга формула Хевісайда відноситься до випадку коли многочлен знаменника має один нульовий корінь. Тоді , де у многочлена відсутні нульові корені. Тоді

/

Звідки

, ,

де - корены многочлена . Отже

.

Третя формула Хевісайда відноситься до випадку, коли поліном має кратні корені. Нехай має кратні корені, тобто:

,

причому , де - порядок многочлена . Тоді

,

де .

На практиці не рекомендують користуватися третьою формулою Хевісайда (), оскільки вона насправді громіздка та складна. А пропонують для знаходження коефіцієнтів йти шляхом, яким ми користувалися при отриманні першої формули Хевісайда. Наприклад, необхідно знайти оригінал від

.

Розкладемо на прості дроби

.

Помножимо ліву та праву частини() на і покладемо : , звідки .

Помножимо ліву та праву частини() на і покладемо . Отримаємо .

Якщо помножимо ліву та праву частини на , і знайдемо значення від похідної лівої та правої частин в точці , то отримаємо значення коефіцієнта : .

Друга похідна від попереднього виразу в точці дає можливість знайти : .

Отже

.

Скориставшись табличними даними, знайдемо оригінал

.