Класичний метод дослідження перехідних процесів.

Р о з д і л 7

Перехідні процеси у лінійних колах.

В процесі комутації у колі (підключення додаткових або усунення існуючих джерел електромагнітної енергії, коротке замикання елементів кіл або розрив, підключення навантаження тощо.) відбуваються тимчасові відхилення струмів та напруг на різних ділянках кола від усталених значень. При цьому говорять, що у колі мають місце перехідні процеси, бо саме вони пов’язують між собою два стаціонарних стани - початкове (до комутації) та кінцеве (після комутації).

При перехідних процесах значення струмів та напруг на окремих ділянках кола можуть істотньо відрізнятися від таких, що відповідають усталеному режиму, що в ряді випадків приводить до порушення нормальних умов експлуатації радіоелектронних пристроїв і навіть до виходу їх із ладу.

Тому задача дослідження перехідних процесів полягає у тому, щоб виявити:

1. За яким законом будуть змінюватися струми та напруги у колі під час перехідних процесів?

2. Як довго триватимуть перехідні процеси?

Класичний метод дослідження перехідних процесів.

Очевидно, що при такій постановці задача дослідження перехідних процесів зводиться до знаходження миттєвих значень струмів та напруг після комутації. З цією метою на основі рівнянь Кірхгофа (з підключеням компонентних рівнянь) для кола складається система інтегродиференціальних рівнянь. Шляхом виключення змінних таку систему можна звести до одного лінійного неоднорідного диференціального рівняння -го порядку типу:

(7.1)

тут: - струм або напруга ; - функція часу, яка залежить від параметрів джерел електромагнітної енергії. Порядок диференціального рівняння залежить від кількості реактивних елементів у колі та способу їх з’єднання.

Відомо, що загальний розв’язок (перехідна величина) лінійного неоднорідного диференціального рівняння складається із загального розв’зку (вільна складова) однорідного рівняння та частинного розв’язку (вимушена складова) неоднорідного рівняння :

. (7.2)

Загальний розв’язок однорідного диференціального рівняння записується у вигляді

, (7.3)

де - сталі інтегрування; - однократні корені характеристичного рівняння

. (7.4)

Якщо корінь характеристичного рівняння має кратність то йому у сумі (7.3) відповідає доданок

. (7.5)

Пошук частинного розв’язку неоднорідного диференціального рівняння зводиться до знаходження стаціонарного значення перехідної величини після комутації методами теорії кіл. Для усунення неоднозначності розв’язку (знаходження сталих інтегрування ) необхідно скористатися однозначними початковими умовами.

При формулюванні початкових умов необхідно звернути увагу на те, що у процесі комутації струми та напруги окремих віток поводять себе по різному. При миттєвій комутації деякі з них змінюютться теж стрибкоподібно, інші зберігають неперервність. Це пов’язано з тим, що при так званих корректних комутаціях, потужність реальних джерел електромагнітної енергії не може забезпечити миттєві зміні енергії (тобто нескінчену потужність) накопиченої в електричному полі конденсатора та магнітному полі індуктивної котушки . Звідси випливає, що напруга на конденсаторах та струм в індуктивних котушках неперервні в під час комутації:

, . (7.6)

Ці співвідношення представляють собою так звані закони комутації і є основою для визначення початкових умов при розрахунку перехідних процесів. Закони комутації дозволяють знайти та (тобто після комутації) за відомими напругами та струмами до комутації - та відповідно.

Для інших величин - струмів та напруг на резисторах, струмів на конденсаторах, напруг на індуктивних котушках - умова неперервності в момент комутації взагалі не виконується. Тому при складанні рівнянь, що описують перехідні процеси, необхідно шляхом відповідних перетворень досягти того, щоб це були рівняння відносно або . Ці величини відіграють ключову роль при розрахунку перехідних процесів і дістали назву змінних стану (stage variables). Бо тільки для цих змінних задача буде вирішена однозначно.

При дослідженні перехідних процесів можна складати диференціальне рівняння і відносно інших змінних у колі. Проте при цьому виникають додаткові кропіткі викладки, особливо для складних кіл, які пов’язані із застосуванням рівнянь Кірхгофа для знаходження початкових умов із використанням знову ж таки законів комутації

Отже, математично задача розрахунку перехідних процесів зводиться до розв’язку диференціального рівняння відносно змінної стану. Початкові умови - закони комутації.

Метод дослідження перехідних процесів, що базується на інтегруванні диференціальних рівнянь називається класичним методом.