Перехідні процеси у колах другого порядку.

. (7.15)

Для паралельного коливального контуру (див. рис.7.6, б) запишемо рівняння на основі першого закону Кірхгофа: . Скористаємося тим, що , а і отримаємо-

. (7.16)

Отже перехідні процеси у вибірних колах описуються однотипними лінійними диференціальними рівняннями другого порядку, тому їх і називають колами другого порядку. У подальшому зупинимося лише на послідовному коливальному контурі, а отримані результати можемо перенести на паралельнй коливальний контур шляхом замін: , .

Перепишемо рівняння (7.15) у вигляді

, (7.17)

де: - смуга пропускання контуру, а - резонансна частота контуру.

Вимушену складову перехідної напруги (частинний розв’язок неоднорідного диференціального рівняння) легко знайти із фізичних міркувань. Насправді при напруга на конденсаторі стане рівною , отже .

Характеристичне рівняння має два корені

та , (7.18)

які у залежності від співвідношення між параметрами елементів кола можуть бути:

1) дійсними, різними ();

2) дійсними, рівними ();

3) комплексно-спряженими ().

Розглянемо кожний із зазначених випадків окремо.

Аперіодичний процес. Такий процес спостерігається при різних дійсних коренях характеристичного рівняння, що має місце при або при низькій добротності контуру . Загальний розв’язок однорідного диференціального рівняння (вільна складова) має вигляд:

.

Отже загальний розв’язок (напруга на конденсаторі під час перехідного режиму) буде наступним:

.

Врахуючи, що струм у колі пропорційний похідній від напруги на конденсаторі можемо скористаємося законами комутації для знаходження постійних інтегрування та :.

;

.

Звідки -

, .

Остаточно

. (7.19)

Знайдемо перехідний струм у колі:

. (7.20)

Поведінка струму у колі та напруги на конденсаторі при аперіодичному режимі показана на рис.7.6 Аналіз залежності на екстремум показує, що струм у колі набуває максимального значення через проміжок часу після підключення контуру до джерела. Напруга на конденсаторі зростає монотонно, і з часом прагне до усталеного значення .

Коливальний процес. Такий режим має місце у випадку коли корені характеристичного рівняння комплексно-спряжені: , (тут - частота власних коливань контуру). Очевидно, що при цьому повинна виконуватися умова - . Скористаємося результатом (7.20) отриманим для аперіодичного режиму при дослідженні перехідних процесів в коливальному режимі (адже в обох випадках корені характеристичного рівняння різні). Перехідний струм у колі:

.

Напруга на індуктивній котушці та конденсаторі при перехідному процесі:

;

,

тут .

Отримані співвідношення показують, що усі три перехідні величини мають коливальний характер. Графік залежності однієї з них, а саме , показаний на рис.7.7. Частота коливань називається частотою власних коливань і визначається формулою

,

де - частота фазового резонансу у послідовному коливальному контурі (резонансна частота в паралельному коливальному контурі без втрат), - затухання контуру.

Затухання коливань за амплутудою залежить від параметрів контуру і визначається множником . За звичай ця величина кількісно характеризується декрементом затухання , рівним відношенню двох максимальних значень одного знаку, які віддалені між собою на один період: . Часто затухання коливань характеризують логарифмічним декрементом - . У контурів зі значною добротністю затухання незначне тому а . Цим і визначається фізичний зміст затухання , введеного нами раніше як параметр, що характеризує властивості контуру - при значній добротності затухання пропорційне логарифмічному декременту коливань.

Знайдемо тривалість перехідного процесу в контурі при коливальному режимі. Очевидно, що теоретично коливання будуть тривати нескінчено довго. На практиці вважають, що коливаннями можна знехтувати, якщо амплітуда власних коливань зменшиться до рівня від початкового значення. Зазначений критерій тривалості перехідних процесів приводить до рівняння , розв’язком якого є час

.

Отже перехідний процес в резонансному контурі при коливальному режимі триває приблизно ( -добротність контуру) періодів високочастотного коливання.

Критичний процес. При критичному режимі (корені характеристичного рівняння кратні () характер перехідного процесу описується залежністю

.

Враховуючи, що та (закони комутації) отримаємо систему рівнянь для знаходження постійних інтегрування.

.

Звідки - , . Отже

,

,

Із наведених формул видно, що напруга на конденсаторі монотонно зростає наближаючись з часом до стаціонарного значення . Напруга на індуктивній котушці на початку перехідного процесу дорівнює напрузі прикладеній до кола і з часом спадає, змінюючи знак у мить часу . Струм у колі (а отже і напруга на резисторі) на протязі перехідного процесу не змінює напрямку проте набуває максимального значення при .