Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Коефіцієнт кореляції. Кореляційні функції.
При вирішенні багатьох задач радіоелектроніки часто виникають питання такого плану: 1. Один сигнал перевищує інший. Що при цьому мається на увазі? 2. Чи можливо об’єктивно оцінювати наскільки схожі два сигнали? Аналогічні міркування будуть справедливі і до складової вектора у напрямку вектора : , де - . Мірою схожості двох векторів вважають величину яка є середнім геометричним між та : . Очевидно, що величина С дорівнює косинусу кута між векторами і її модуль може знаходитися в межах від 0 до 1. Поняття про схожість векторів та їх ортогональність можна застосувати і до сигналів. Розглянемо два сигнали та . Необхідно апроксимувати сигнал сигналом на заданому проміжку часу тобто . Як вибрати щоб апроксімація була найкращою? Очевидно так, щоб похибка між та була мінімальною: . Критерій мінімальності? Середнє значення на проміжку повинно бути мінімальним: . Проте такий критерій дозволяє значні додатні та від’ємні похибки, що можуть компенсувати друг друга і приводити до фальшивого результату. Наприклад, при апроксімації гармонічного сигналу функцією на інтервалі : . А хіба схожі ці два сигнали? Тому для мінімізації відхилення одного сигналу від іншого запропонували використовувати середнє від квадрата похибки Яким чином вибрати , щоб було мінімальним? . Звідси . Зверніть увагу на схожість формул для знаходження для векторів та функцій. По аналогії називається скалярним добутком двох функцій та . А коли їх скалярний добуток дорівнює нулеві то функції називаються ортогональними. Можна апроксимувати сигнал сигналом на проміжку тобто . І якщо виберемо так, що , то середнє від квадрата похибки буде мінімальним. Середнє геометричне від та є мірою схожості двох сигналів і називається коефіцієнтом кореляції : . (8.5) Скориставшись відомою нерівністю Коші-Буняковського , приходимо до висновку, що модуль коефіцієнта кореляції може лежати лише в інтервалі значень від 0 до 1. Радикали, що стоять у знаменнику виразу (8.5) звуться нормами функцій та : , . Вони необхідні для того, щоб при порівнянні функцій та врахувати їх абсолютне значення і зрівняти їх за інтенсивністю. Якщо заздалегідь поділити функції та на їх норми, то одержимо нормовані значення цих функцій . Для нормованих сигналів коефіцієнт кореляції набуває вигляду . (8.6) У теорії сигналів велику роль відіграють автокореляційні функції (АКФ) (8.7) Зміст автокореляційної функції полягає у тому, що вона дає кількісну функціональну міру зміни самої функції за проміжок часу . Цілком очевидно, що .. Можна також довести, що , тобто АКФ завжди є парною функцією. Нормована АКФ може приймати значення від до . Значення вона набуває, якщо , тобто якщо при зсуві на функція дорівнює , але з протилежними знаком (так звана антикореляція). Для періодичних функцій інтегрування слід проводити в межах періоду. Через ціле число періодів АКФ для періодичної функції завжди дорівнює одиниці: . Так, наприклад, для гармонічної функції норма дорівнює , і нормована АКФ буде
|