Тригонометричний ряд Фур’є.

Функцію на інтервалі можна подати у вигляді ряду

, (8.11)

де - ; ; , а .

Вказаному тригонометричному ряду можна надати і іншу форму. Покладемо , . Тоді -

, (8.12)

тут , а при та при .

Саме з тригонометричним рядом Фур’є у такій формі і пов’язане визначення спектру та спектральних діаграм. Складові цієї суми - гармоніки. Сукупність гармонік - спектр. Оскільки гармонічне коливання характеризується трьома параметрами то на практиці мають справу з амплітудним та фазовим спектрами. Графічне зображення коефіцієнтів ряду Фур’є для конкретного сигналу - спектральна діаграма. Розрізняють амплітудну та фазову спектральні діаграми. У загальному випадку у розкладі існує і постійна величина , яка зазвичай в радіоелектроніці називається постійною складовою, і, як це випливає із формул, представляє собою середнє значення функції за час :

.

Зупинимося тепер на графічному зображенні спектру. Амплітудно-частотна характеристика спектру здійснюється побудовою вертикальних відрізків довжиною пропорційною амплітуді гармоніки . На фазочастотній характеристиці спектру довжина вертикальних відрізків пропорційна початковій фазі гармоніки . На осі абсцис як амплітудно-частотної так і фазочастотної характеристик відкладається або номер гармоніки або частота . Така спрощена побудова можлива завдяки тому, що закон зміни миттєвого значення гармонік відомий – гармонічний.

Скориставшись ортогональністю експоненціальних функцій отримаємо так звану комплексну форму ряду Фур’є для на

, (8.13)

де -

. (8.14)

Спектр амплітуд комплексного ряду Фур’є будь якої дійсної функції симетричний відносно вертикальної осі, що проходить через початок координат. Покажемо що це так. Коефіцієнти розкладу:

та .

Із цих формул випливає, що та є комплексно спряженими величинами, тобто , отже . Таким чином, спектр амплітуд є симетричним відносно вертикальної осі, що проходить через початок координат, і є парною функцією частоти . Якщо - дійсна величина, то - також дійсна і = .

Від’ємна частота не містить у собі ніякого фізичного змісту, це лише математична форма. Насправді, оскільки то і (звідси випливає, що спектр фаз комплексного ряду Фур’є – непарна функція відносно вертикальної осі, що проходить через початок координат), тоді

.

Комплексні коефіцієнти ряду дозволяють знайти безпосередньо амплітуди гармонік та їх початкові фази. Насправді , а . Комплексна форма ряду Фур’є є найбільш компактною і зручною при математичних розрахунках.

Приклад.8.2. Розкласти функцію (рис.8.9, а) в ряд Фур’є на проміжку (0, 1).

Розв’язок. Очевидно, , та .

Скористаємося комплексною формою ряду Фур’є. При цьому коефіцієнти ряду визначаються формулою (8.14)

= = == , = .

Скористаємося формулами переходу від коефіцієнтів комплексного ряду до коефіцієнтів тригонометричного ряду і знайдемо амплітуди та початкові фази гармонік

= , а = = . Отже тригонометричний ряд, з яким пов’язують поняття спектру та спектральної діаграми набуває вигляду

. (8.15)

Необхідно відмітити, що рядом (8.15) можна подати будь-яку функцію, яка співпадає з на інтервалі . Наприклад, функції та на рис.8.9 а та б співпадають з на проміжку і тому обидві ці функції на проміжку можна також представити рядом (8.15).

8.3.2.Представлення довільної функції рядом Фур’є на нескінченому інтервалі.

До сих пір функція представлялась рядом Фур’є на або на . Поза цим інтервалом та її ряд можуть і не співпадати. Якщо функція періодична то вона співпадає з її рядом на нескінченому інтервалі . Переконаємося у цьому.

Розглянемо деяку функцію і відповідний їй експоненціальний ряд Фур’є на інтервалі :

Рівність виконується на інтервалі . Права частина - періодична функція з періодом , насправді . Якщо і функція періодична з таким же періодом то функція та її ряд співпадають на усьому інтервалі . Таким чином будь-яку функцію на скінченому інтервалі можна представити рядом Фур’є, а періодичну - на нескінченому інтервалі .

Приклад.8.3. Розкласти в ряд Фур’є періодичну послідовність прямокутних імпульсів, параметри якої показані на рис.8.11. Побудувати спектральну діаграму на основі тригонометричного та комплексного рядів.

Рішення. Як випливає з рис.8.11 визначається так:

Скористаємося комплексною формою ряду Фур’є. Очевидно, .При цьому коефіцієнти ряду визначаються формулою (8.14): = = = ,

тут: , а . Із отриманої формули випливає, що - дійсна величина, тому для частотного представлення достатньо лише одна спектральна діаграма.

Скористаємося формулами переходу від коефіцієнтів комплексного ряду до коефіцієнтів тригонометричного ряду і знайдемо амплітуди гармонік

= , .

Отже тригонометричний ряд, з яким пов’язують поняття спектру та спектральної діаграми набуває вигляду

.

Знайдений частотний спектр є дискретною функцією, яка існує лише на частотах , , , і т.д. з відповідними амплітудами , , , ...

На рис.8.12 показана амплітудно-частотна спектральна діаграма, побудована згідно формули (причому амплітуди гармонік узяті за модулем) для перших 15 гармонік, для періодичної послідовності прямокутних імпульсів з параметрами: мкс, мкс, В.

Рис.8. 12

Часто, заради зручності (адже при цьому відпадає необхідність переходити від комплексних коефіцієнтів до амплітуд реальних гармонік), будують частотну та фазову спектральні діаграми для комплексного ряду Фур’є. При цьому на частотній осі представлені як від’ємні так і додатні частоти (фізичний зміст від’ємних частот ми розглянули раніше). На рис.8.13 показаний амплітудний спектр періодичної послідовності імпульсів пов’язаний з комплексним рядом Фур’є.

Рис.8. 13

Бажано вміти представляти будь-які сигнали (в тому числі і неперіодичні) на нескінченому інтервалі з допомогою експоненціального (а отже і тригонометричного) ряду.

Поставлену задачу можна розв’язати двома способами:

1. Сигнал на скінченому проміжку тривалістю подати рядом, а потім спрямувати до нескінченості.

2. Побудувати періодичну функцію з періодом . На протязі періоду ряд і функція співпадають, потім період спрямувати до нескінченості.

Між цими двома способами не існує істотньої різниці. Скористаємося другим способом і відтворимо в істотних рисах ті, прекрасні в їх прозорості, хоча і позбавлені строгості, ідеї, що привели Фур’є до його інтегральної формули (незалежні ці формули отримав і Коші).

Рис.8. 14

Нехай задана функція (див. рис.8.14, а) яку необхідно представити на нескінченому інтервалі сумою експоненціальних функцій. З цією метою побудуємо нову періодичну функцію з періодом , в якій функція повторюється через кожні секунд (рис.8.14, б). Період вибираємо значним, щоб сусідні імпульси не перекривалися. Ця нова функція є періодичною, отже її можна представити експоненціальним рядом Фур’є. При функція переходить в : . Отже ряд Фур’є для функції на нескінченому інтервалі, буде також і рядом Фур’є на тому ж інтервалі для функції , якщо покласти .

Експоненціальний ряд Фур’є для має такий вигляд ,

де: , а .

Коефіцієнти характеризують амплітуду гармоніки на частоті .

Нехай тепер буде значним. Чим більшим стає , тим меншою буде (основна частота) і спектр стає більш щільнішим. Амплітуди окремих спектральних складових при цьому теж зменшуються, проте форма частотного спектру залишається незмінною. Граничні значення амплітуд гармонік при стають дуже малими, при цьому їх кількість прямує до нескінченості. Тепер спектр існує на будь-якій частоті і із дискретної функції частоти перетворюється в неперервну. Введемо нові позначення , . Тепер

.

Отже

, (8.16)

де

. (8.17)

Рівність (8.17) подає неперіодичну функцію як неперервну суму експоненціальних функцій з частотами в інтервалі . Амплітуда складових на будь-якій частоті пропорційна , тому є частотнім спектром функції і називається спектральною щільністю. Зверніть увагу, що частотний спектр неперіодичного сигналу є неперервною функцією частоти. Спектральна щільність знаходиться за формулою (8.17).

Отримані формули відомі як пара перетворень Фур’є: формула (8.17) називається прямим перетворенням Фур’є сигналу , а формула (8.16) - оберненим перетворенням функції .

Графічне зображення суцільного спектру - це графічна залежність від частоти та .

Приклад. 8.4. Для сигналу (див.рис.8.11) знайти спектральну густину одного прямокутного імпульсу зосередженого на проміжку часу .

Рішення. .

У наведеному прикладі спектральна густина дійсна функція, бо - парна функція часу. У цьому аспекті властивості спектральної щільності парних та непарних функцій співпадають з властивостями комплексних коефіцієнтів ряду Фур’є . Насправді, перетворення Фур’є можна подати у наступному вигляді

.

Тоді, очевидно, що якщо є парною функцією , то , а якщо непарною, то . Користуючись отриманими співвідношеннями легко показати, що між дійсною функцією (реальним сигналом) та її спектральною щільністю існує наступний взаємозв’язок:

Дійсна Дійсна і непарна () Дійсна і парна ()	Комплексна () Уявна і непарна () Дійсна і парна ()

У цьому аспекті властивості спектральної густини парних та непарних функцій співпадають з властивостями комплексних коефіцієнтів ряду Фур’є .

Наведений приклад вказує ще на одну схожість у спектрах періодичної послідовності прямокутних імпульсів і поодинокого імпульсу: обвідна дискретного спектру схожа на спектральну густину. Такий висновок можна легко узагальнити. Нехай маємо періодичну послідовність імпульсів і поодинокий імпульс з такою ж формою (див рис.8.14). Комплексні коефіцієнти ряду Фур’є та спектральна густина для наведених сигналів відповідно дорівнюють

, .

Бачимо, що на частотах дискретного спектру : . Тобто обвідна дискретного спектру співпадає з спектральною густиною, якщо врахувати масштабний множник - період імпульсної послідовності.

Для спрощення подальшого аналізу з використанням перетворення Фур’є доцільно розглянути основні властивості інтегрального перетворення Фур’є.