Зміст теми. Первісна та невизначений інтеграл

Первісна та невизначений інтеграл

Функція називається первісною для функції , якщо є похідною для .

Сукупність первісних для даної функції називається невизначеним інтегралом

,

(читається: " невизначений інтеграл еф від ікс де ікс ").

Термінологія:

• ò - знак інтеграла

• x - змінна інтегрування

• - підінтегральна функція

• dx - підінтегральний вираз

• С - стала інтегрування.

Геометрично невизначений інтеграл представляє собою сім’ю кривих, рівняння яких відрізняються одне від одного сталим доданком С, і одержати їх можна паралельним перенесенням вздовж осі ординат.

Лінійні властивості операції інтегрування можна виразити однією формулою

,

де a та b - довільні сталі множники.

Основні невизначені інтеграли:

.

Визначений інтеграл

y = f (x) Y B   A a b X

До необхідності обчисляти визначений інтеграл приводять багато практичних задач, наприклад, обчислення площі S криволінійної трапеції аАВb, обмеженої зверху ділянкою графіка АВ функції ¦(x), а внизу інтервалом [a, b] осі Х. З урахування позначень меж інтервалу (нижньої a та верхньої b) і функції ¦(x), визначений інтеграл записують так

S = ,

(читається: " визначений інтеграл від a до b еф від ікс де ікс").

Термінологія, введена для невизначеного інтеграла, залишається у силі та доповнюється:

· a - нижня межа інтегрування

· b - верхня межа інтегрування

· [ a, b ] - область інтегрування.

У загальному випадку для обчислення визначених інтегралів застосовують спеціальні методи численного інтегрування. Проте, якщо для підінтегральної функції ¦(x) відома первісна функція , то можна скористатись формулою Ньютона - Лейбніца:

.

Визначений інтеграл застосовують, зокрема, для обчислення середнього значення функції ¦(x) на інтервалі [ a, b ]:

.