Матеріали для самоконтролю

1. Приклади задач з рішеннями

Задача 1.

Реакція на визначену дозу ліків через t годин після її приймання задається величиною r (вираженою у відповідних одиницях)

.

Знайдіть величину сумарної реакції на задану дозу ліків.

Розв’язок.

Сумарна реакція R визначається інтегралом

...

,

Отже, сумарна реакція на задану дозу ліків становить 0, 5.

Задача 2.

Яка робота здійснюється при розтягуванні м'яза на l мм, якщо відомо, що при навантаженні м'яз розтягується на мм. Вважати силу, що розтягує м'яз, прямо пропорційною його видовженню.

Розв’язок.

Згідно умови задачі

P = kl.

Значення коефіцієнта k визначається з умови = k . Тому . Відомо, що елементарна робота dA становить

.

Інтегруючи, одержимо шукану відповідь

.

Задача 3.

Швидкість зміни концентрації n препарату з ізотопним індикатором у момент часу t (год.) дається формулою

.

Визначити концентрацію препарату через 2 години після введення, якщо початкова концентрація становить 30 мкг на літр.

Розв’язок.

Концентрація n препарату з ізотопним індикатором є первісною для своєї похідної . Вирахуємо відповідний інтеграл

.

Відомо, що початкова концентрація становить 30 мкг на літр. Знайдемо значення сталої інтегрування, використовуючи цю умову

.

Бачимо, що С = 10, отже, формула для концентрації препарату повинна виглядати так:

.

Через 2 години після введення концентрація препарату становитиме

.

Таким чином, вже через два години після введення препарату його концентрація зменшується вдвічі та складає 15 мкг на літр.

Задача 4.

Зв'язок між зміною dp надлишкового тиску у кровоносній судині та зміною dr її радіуса (при великих значеннях модуля пружності E) виражається формулою

,

де b = const.

Визначити залежність Dp (r).

Розв’язок.

Зміна надлишкового тиску Dp (r) у кровоносній судині, викликане зміною її радіуса від до , становить

Dp (r) = .

Задача 5.

Через тіло тварини проходить імпульс струму, який змінюється з часом за законом

(мА).

Тривалість імпульсу t дорівнює 0, 1с.

Визначити заряд q, що пройшов через тіло тварини.

Розв’язок.

Оскільки

,

то, інтегруючи, одержимо

Отже, заряд, що пройшов через тіло тварини, дорівнює 1, 6 мКл.

Задача 6.

Напруженість електричного поля позитивного струмового уніполя визначається за формулою

.

Знайти потенціал електричного поля струмового уніполя.

Розв’язок.

Напруженість електричного поля з урахуванням сферичної симетрії задачі може бути представлена у вигляді

отже,

,

звідки

.

Звичайно обирають умову при . Тоді С = 0 і остаточно одержимо потенціал електричного поля позитивного струмового уніполя у вигляді

.

2. З адачі для самоконтролю.

1. Визначити середнє значення об'ємної густини енергії магнітного поля апарату індуктотермії

.

2. Визначити миттєве значення зміщення барабанної перетинки, що коливається з швидкістю

.

3. Обертальний момент М, діючий на молекулу з магнітним моментом р, розташовану у магнітному полі з індукцією В дорівнює

М = рВ sin a,

де a - кут між векторами магнітного моменту та індукції.

Визначити потенціальну енергію молекули у магнітному полі.

4. Визначити потенціальну енергію стиснутої пружини у межах пружності (F = - kx).

5. Потужність експозиційної дози радіоактивного випромінювання має вигляд

,

де А - активність джерела випромінювання, r - відстань до джерела, - гамма стала радіоактивного ізотопу.

Визначити експозиційну дозу Х, враховуючи, що

,

де l - стала розпаду, - початкове число радіоактивних ядер.

3. Контрольні запитання:

1. Первісна функція.

2. Невизначений інтеграл.

3. Лінійні властивості інтеграла.

4. Геометричний зміст невизначеного інтеграла.

5. Основні невизначені інтеграли.

6. Метод заміни змінної.

7. Визначений інтеграл та його геометричний зміст.

8. Формула Ньютона-Лейбніца.

9. Середнє значення функції.