Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Обозначим
, . Записывая вторую сумму в виде , получим:
Остаётся воспользоваться непосредственно проверяемым равенством . В результате получаем: , что и требовалось доказать. Числа () называются биномиальными коэффициентами. Если в (1) положить , то получим равенство . (6) Оно связывает между собой все биномиальные коэффициенты при каждом фиксированном показателе степени и замечательно, например, тем, что даёт ответ на вопрос о числе всех подмножеств множества, состоящего из элементов. Действительно, из комбинаторики известно, что есть число всех k - элементных подмножеств такого множества (число всевозможных сочетаний из элементов по ()). Равенство (6) означает, что число всех подмножеств такого множества (включая и пустое множество Æ) равно . (Соответствующий результат, естественно, без учёта Æ был получен в середине XVI в. итальянским математиком Дж. Кардано.)
Лекция № 2 Понятие функции
1° Область определения, множество значений и график функции
Определение 1. Пусть и – два произвольных множества. Если каждому элементу по некоторому правилу поставлен в соответствие в точности один элемент , то говорят, что на множестве задана (определена) функция со значениями в множестве . При этом пишут: и говорят ещё, что функция отображает множество Х в множество У. Элемент называется образом элемента , а – прообразом элемента (рис.1). Множество называется областью определения функции . Множество всех тех элементов , каждый из которых является образом некоторого элемента , называется множеством значений этой функции и обозначается символом . Рис. 1
Замечания. 1. Обратим внимание на единственность образа для каждого элемента . Таким образом, постулируемое в определении 1 свойство однозначности является атрибутом понятия функции. 2. Имеет место включение , то есть a priori множество может оказаться выбранным с некоторым “запасом” по отношению к множеству значений функции (рис.1). Правило в определении функции может осуществляться различными способами. В ближайших лекциях предполагается, что и . Таким образом, являются функциями одной независимой действительной переменной , принимающими действительные значения . Рассмотрим пример. Пусть . При указании области определения этой функции исходим из того, что должно выполнятся неравенство Решая его, находим что . Таким образом, . Историческая справка. До XIX века ограничивались тем, что так или иначе функцию отождествляли с некоторым аналитическим выражением, при подстановке в которое значений независимой переменной получаются соответствующие её значения. Накопление материала, как в количественном, так и в качественном отношении, привело к выявлению самой сущности рассматриваемого понятия. В результате выкристаллизовалось определение функции, заключающееся в постулировании как таковом соответствия между элементами двух множеств. Определение 2. Графиком функции называется множество точек на плоскости вида: . 2° Взаимно однозначная и обратная функции Определение 3. Функция называется взаимно однозначной на множестве , являющемся подмножеством Х , если выполняется: . Говорят ещё, что отображение, осуществляемое функцией f, инъективно на множестве . Имеется очень простой критерий взаимной однозначности функции f: . Именно, каждая горизонтальная прямая пересекает график этой функции не более чем в одной точке, имеющей абсциссу, принадлежащую . Например, . Определение 4. Пусть функция взаимно однозначна на множестве . Обратной к ней функцией называется функция, обозначаемая символом , определённая на множестве и задаваемая следующим образом. ставится в соответствие элемент такой, что . Обратная матрица осуществляет обратное отображение в случае, когда отображение задается невырожденной квадратной матрицей в соответствующем конечномерном пространстве. Если данная функция не инъективна, обратная к ней функция не определена. Действительно, не указано, какой из элементов ( или ) ставится в соответствие элементу , соответствующему каждому из них при отображении f. 3° Сложная функция Продемонстрируем эффективность использования в данном случае специализированных программных средств. Задача 1 ([3], с. 31, № 210). Пусть . Найти , если . Решение. Найдём сначала выражения функций и . Вводя в программу Maple выражение данной функции , будем иметь: > f: =x-> x/sqrt(1+x^2); f[2]: =f(f(x)); simplify(f[2], symbolic);
а также > f: =x-> x/sqrt(1+x^2): f[3]: =f(f(f(x))); simplify(f[3], symbolic); Анализируя полученные для функций и выражения, можно предположить, что имеет место формула . (1) Докажем её методом математической индукции. Для эта формула справедлива. Убедимся, что из (1) следует формула . Вновь обращаясь к программе Maple, получим: > f: =x-> x/sqrt(1+x^2); fn: =x-> x/sqrt(1+n*x^2); f(n+1): =f(fn(x)): simplify(f(n+1), symbolic); Остаётся сгруппировать слагаемые под корнем полученного выражения: > collect(1+n*x^2+x^2, x^2); Лекция №11 Приложения дифференциального исчисления В ряде приложений оказывается полезным понятие относительной производной функции или, как говорят в экономике, эластичности функции. Определение 1. Эластичностью функции относительно независимой пер е меной в точке x называется число равное , (1) то есть произведению отношения независимой переменной к значению функции и производной функции в этой точке. Для того, чтобы пояснить целесообразность введения такой функциональной характеристики, нам понадобится Определение 2. Пусть – некоторое приращение независимой переменной в точке x. Относительным приращением независимой переменной в точке называется число , а относительным приращением функции в этой точке – число . Естественно, подразумевается, что каждое из чисел и отлично от нуля. Предположим теперь, что . Другими словами, пусть приращение составляет 1% от числа . В этом случае имеет место равенство . (2)
Сделаем простое замечание общего характера. Пусть и – два произвольных положительных числа. Тогда есть ничто иное, как число процентов, которое составляет от . Например, если, и , то . Именно столько процентов число 3 составляет от числа 20. Возвращаясь к равенству (2), рассмотрим его правую часть. В силу сделанного замечания, она равна числу процентов, которое составит приращение функции , последовавшее вслед за приращением независимой переменной в точке , от значения функции в этой точке. Но . Следовательно, при малых приращениях можно записать приближенное равенство
В частности, когда составляет 1% от , будем иметь:
Итак, эластичность функции относительно независимой переменной приблизительно равна числу процентов, которое составит приращение функции, последовавшее вслед за увеличением независимой переменной на 1%, от исходного значения функции. Отметим несколько необычные в среде математического анализа свойства введённого выше понятия. Теорема 1. (а) Эластичность произведения функций равна сумме эластичностей сомножителей. (в) Эластичность частного функций равна разности эластичностей делимого и делителя. Доказательство. Убедимся, например, в том, что если и , то . По определению эластичности функции
.
Пользуясь формулой для дифференциала частного , получим: .
В качестве экономического приложения введённого выше понятия рассмотрим функцию спроса относительно цены (см., например,). Так как в стабильной рыночной ситуации эта функция является не возрастающей, то имеет место неравенство . Для того чтобы при практических вычислениях избежать отрицательных чисел, вместо рассматривают величину, отличающуюся от неё знаком. Определение 3. Эластичностью спроса относительно цены называется число, равное . (3)
Таким образом, отличается знаком от соответствующей относительной производной функции (см. (1)) и приблизительно равна числу процентов, которое составит уменьшение спроса на товар от исходного спроса, если цену на товар увеличить на 1%. Если значения таковы, что выполняется неравенство > 1, то говорят, что спрос эластичен относительно цены. В случаях, когда , либо, когда , говорят соответственно о нейтральности и неэластичности спроса относительно цены. Приведём пример. Пусть известно, что при имеет место зависимость: . Так как то Решая уравнение , находим, что является единственной ценой, при которой спрос нейтрален (т.е. увеличение цены на 1% влечёт за собой падение спроса также на 1%). Соответственно получаем, что при спрос эластичен, а при – неэластичен относительно цены. Например, если , то увеличение цены на 1% влечёт падение спроса на 1, 5%.
Лекция №12 Глобальные свойства непрерывных функций
Лемма (о стягивающихся отрезках). Пусть последовательность отрезков такова, что каждый последующий отрезок содержится в предыдущем и . (1) Тогда существует единственная точка , принадлежащая каждому из этих отрезков. При этом . Доказательство. Рассмотрим две монотонные последовательности: и. Первая последовательность не убывает и ограничена сверху (например, числом). Вторая не возрастает и ограничена снизу (например, числом). Таким образом, каждая из этих последовательностей является сходящейся. Обозначим И. По теореме о пределе разности последовательностей получаем: . В силу предположения (1) отсюда следует, что . Обозначим общий предел последовательностей и буквой .
|