Монотонность и экстремумы функций

Определение 1. Функция называется постоянной на интервале , если во всех его точках она принимает одно и то же значение.

Теорема 1. Для того чтобы функция была постоянной на интервале , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство .

Замечание. Формулировка условия необходимости в теореме 1 не содержит предположения о дифференцируемости рассматриваемой функции. Указанное свойство вытекает из того, что .

Определение 2. Функция называется возрастающей на интервале , если

(то есть большему значению независимой переменной из рассматриваемого интервала соответствует большее значение функции).

Определение 3. Функция называется убывающей на интервале , если

(то есть большему значению независимой переменной из рассматриваемого интервала соответствует меньшее значение функции).

График возрастающей функции простирается вправо и вверх, а график убывающей – вправо и вниз.

Определение 4. Функция называется неубывающей на интервале , если

(то есть большему значению независимой переменной из рассматриваемого интервала соответствует не меньшее значение этой функции).

График неубывающей функции простирается вправо и не вверх. Ясно, что любая возрастающая функция является неубывающей. Обратное утверждение неверно.

Определение 5. Функция называется невозрастающей на интервале , если

(то есть большему значению независимой переменной из рассматриваемого интервала соответствует не большее значение этой функции).

График невозрастающей функции простирается вправо и не вверх. Ясно, что любая убывающая функция является невозрастающей. Обратное утверждение неверно.

Неубывающие и невозрастающие функции объединяются термином – монотонные функции. При этом возрастающие и убывающиефункциичасто называют строго монотонными.

Теорема 2. Если , то функция возрастает на интервале .

Доказательство. Рассмотрим любые две точки такие, что . Применим к отрезку теорему Лагранжа. Согласно неё найдётся по крайней мере одна точка такая, что выполняется равенство

.

Так как и , то . Таким образом, .

Аналогично доказывается

Теорема 3. Если , то функция убывает на интервале .

Теорема 4. Для того чтобы функция была неубывающей на интервале , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство .

Теорема 5. Для того чтобы функция была невозрастающей на интервале , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство .

Определение 6. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Говорят, что имеет в точке максимум, если найдётся такая проколотая окрестность этой точки , что выполняется неравенство

. (1)

При этом называют точкой максимума функции , а значение функции в этой точке – максимальным и пишут: .

Определение 7. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Говорят, что имеет в точке минимум, если найдётся такая её проколотая окрестность , что выполняется неравенство

. (2)

При этом называют точкой минимума функции , а значение функции в этой точке – минимальным и пишут: .

Точки максимумаи точки минимумаобъединяются термином – точки экстремума функции. При этом говорят, что в точке функция имеет экстремум (достигает экстремума).

1 Необходимое условие экстремума функции

Теорема 6 (П. Ферма). Пусть – точка экстремума функции . Если дифференцируема в точке , то имеет место равенство

. (3)

Доказательство. Предположим противное. Пусть, например, –

точка максимума функции и при этом . Предположим, для

определённости, что . Так как

,

то по свойству предела функции найдётся такая проколотая окрестность точки , что выполняются одновременно два неравенства: (1) и

. (4)

Если в указанной проколотой окрестности взять точку , то придём к противоречию.

2 Достаточные условия экстремума функции

Выполнение равенства (2) не влечёт за собой наличия экстремума у функции в точке . В качестве контрпримера предлагается рассмотреть функцию в точке .

Определение 8. Точка , для которой выполняется равенство (3), называется стационарной точкой (точкой, подозрительной на экстремум) функции .

Теорема 7 (1-е правило). Пусть функция дифференцируема в некоторой проколотой окрестности точки . Если меняет знак при переходе через , то – точка экстремума функции . При этом, если

а) знак меняется с “ + ” на “ – ”, то – точка максимума.

б) знак меняется с “ – ” на “ + ”, то – точка минимума.

Если не меняет знака при переходе через точку , то не является точкой экстремума функции .

Теорема 8 (2-е правило). Пусть – стационарная точка функции и имеет производную 2-го порядка в этой точке. Тогда

а) если , то – точка минимума функции ;

б) если , то – точка максимума функции .

Если , то для исследования функции на экстремум в точке нужно привлечь производные более высоких порядков.

Лекция №16

Асимптоты графика функции

Приведём сначала общее определение асимптоты линии на плоскости.

Определение 8. Пусть линия содержит точки, расположенные сколь угодно далеко от начала координат. Говорят, что прямая линия является асимптотой линии , если неограниченное удаление от начала координат текущей точки влечёт за собой стремление к нулю расстояния от этой точки до , то есть (рис. 1)

. (1)

L

у

Г

х

Рис. 1

Как известно, в аналитической геометрии все прямые линии на плоскости согласно форме записи их уравнений разбивают на два класса: наклонные и вертикальные. Такая же классификация вводится для асимптот графика функции.