Тогда найдётся по крайней мере одна точка такая, что .

Доказательство. Предположим для определенности, что , а . Рассмотрим точку , то есть середину отрезка . Если , то остаётся положить . Пусть . В зависимости от того, какой знак имеет число , перейдём к какому-либо из отрезков или . Таким образом, мы получаем отрезок , длина которого вдвое меньше длины отрезка , один из концов совпадает с каким-то из концов отрезка и на концах которого функция принимает значения разных знаков.

Далее с отрезком проделаем то же самое, что и с отрезком . В результате мы либо получим, что . Тем самым будет найдена точка из утверждения теоремы. Либо мы придём к отрезку , такому, что и . Будем продолжать указанный выше процесс. При этом мы либо на каком-то шаге в качестве середины очередного отрезка получим искомую точку , либо получим бесконечную последовательность отрезков , удовлетворяющую условиям леммы о стягивающихся отрезках. Действительно,

()

и, следовательно,

.

Согласно упомянутой лемме, существует число такое, что

.

В силу предполагаемой непрерывности функции получаем:

.

При этом, так как и (), то

и .

Таким образом, .

Предлагаем читателю привести контрпримеры, показывающие, что каждое из предположений 1° и 2° существенно в условии теоремы 1.

Лекция №14