Наклонные асимптоты графика функции

Теорема 1. Для того чтобы прямая линия была асимптотой графика функции необходимо и достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно из равенств:

(2)

или

. (3)

Если для прямой выполняется равенство (2), то она называется правой наклонной асимптотой графика функции , если (3) – левой наклонной асимптотой.

Доказательство. Воспользуемся известной из курса аналитической геометрии формулой, дающей расстояние от точки до прямой линии на плоскости.

Следствие. Если прямая линия является правой наклонной асимптотой графика функции , то выполняется равенство

, (4)

если – левой наклонной асимптотой, то – равенство

. (5)

Доказательство. Пусть, например, прямая является правой наклонной асимптотой графика функции . Тогда из равенства (2) получаем, что

,

то есть

.

Следовательно,

.

Равенство (4) доказано.

При решении задач приведённые выше формулы используют в обратном порядке. Сначала для данной функции по формулам (4) и (5) находят угловые коэффициенты соответствующих наклонных асимптот. Затем, подставляя в формулы (2) и (3) полученные значения , находят соответствующие коэффициенты . В результате получается уравнение наклонной асимптоты.

Если какого-либо из пределов в левых частях формул (5.2)-(5.5) не существует или таковой предел оказывается бесконечным, то соответствующей наклонной асимптоты у графика функции нет.

Наклонную асимптоту графика функции называют горизонтальной, если . Таким образом, горизонтальная асимптота имеет уравнение вида и параллельна оси абсцисс.