Определение неопределенного интеграла

В дифференциальном исчислении мы решали следующую основную задачу: по данной функции найти ее производную. Рассмотри обратную задачу: дана функция ; требуется найти такую функцию , производная которой равна , т.е.:

(8.1)

Определение 7.1. Функция называется первообразной от функции на отрезке , если во всех точках этого отрезка выполняется равенство (8.1).

Пример 8.1. Найти первообразную от функции . Из определения первообразной следует, что - первообразная функции , поскольку:

.

Задача отыскания по данной функции ее первообразной решается не однозначно. В рассмотренном примере первообразной для функции является не только функция , но и, к примеру, и и вообще (где - некоторая константа), что можно проверить дифференцированием данных функций.

Теорема 8.1. Если функция первообразная для функции на отрезке , то всякая другая первообразная для функции отличается от на постоянное слагаемое, т.е. может быть представлено в следующем виде:

(8.2)

Из данной теоремы следует, что выражение (7.2) охватывает совокупность всех первообразных от данной функции.

Введем теперь понятие неопределенного интеграла.

Определение 8.2. Если функция является первообразной для функции , выражение называется неопределенным интегралом и обозначается символом . Таким образом можно записать:

(8.3)

— подынтегральная функция;

— подынтегральное выражение;

— знак неопределенного интеграла;

— переменная интегрирования.