Основные методы вычисления неопределенного интеграла

Пусть требуется найти неопределенный интеграл , причем непосредственно подобрать первообразную не представляется возможным, но известно, что она существует. В этом случае применяются различные методы интегрирования, благодаря которым исходный интеграл можно привести к интегралу табличного вида. Рассмотрим некоторые из этих методов.

1. Метод непосредственного интегрирования. Используя свойства неопределенного интеграл, а также выполняя элементарные математические преобразования подынтегральной функции, исходный интеграл можно привести к неопределенному интегралу табличного вида.

Пример 8.2. Найти неопределенный интеграл .

Используя пятое свойство неопределенного интеграла, вынесем за знак интеграла постоянную 2. Затем, выполняя элементарные математические преобразования, приведем подынтегральную функцию к степенному виду:

.

2. Замена переменной. Пусть требуется найти неопределенный интеграл . Сделаем замену в подынтегральном выражении, положив , где — монотонная непрерывная функция, которая имеет непрерывную производную. Тогда . В этом случае имеет следующее равенство:

(8.9)

Пример 8.3. Найти неопределенный интеграл , используя метод замены переменной.

Сделаем замену переменной , тогда . Исходный интеграл примет вид:

Таким образом, мы получили неопределенный интеграл табличного вида: степенная функция. Используя правило нахождения неопределенного интеграла от степенной функции (см. п.1 в таблице интегралов), найдем:

Сделав обратную замену, получим окончательный ответ:

3. Интегрирование по частям. Пусть и — две дифференцируемые функции от переменной . Тогда дифференциал произведения вычисляется по формуле:

(8.10)

Интегрируя, получим:

(8.11)

Отсюда:

(8.12)

Последняя формула называется формулой интегрирования по частям.

Пример 8.4. Найти неопределенный интеграл , используя метод интегрирования по частям.

Введем следующие обозначения:

(8.13)

Тогда дифференцируя первое выражение и интегрируя второе, получим:

(8.14)

Теперь подставив в формулу (8.12) введенные нами обозначения (8.13) и (8.14), получим:

4. Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен.

Рассмотрим следующие случаи:

а) В знаменателе интегрируемой функции квадратный трехчлен f(x) = .

Преобразуем его, выделив полный квадрат.

.

Введем обозначение . Таким образом, данный интеграл приобретает вид:

.

Сделаем в последнем интеграле замену переменной:

,

Получим:

. Это – табличный интеграл.

Пример 8.5.

Вычислить интеграл:

б) Подынтегральная функция имеет вид . Произведем тождественные преобразования:

Таким образом, исходный интеграл можно представить в виде суммы:

Как вычислять второй интеграл, мы рассмотрели в пункте ; обозначим его через . В первом интеграле сделаем замену переменной:

,

Таким образом:

Окончательно получим:

Пример. 7.6