Определение дифференциального уравнения

Определение 12.1. Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, связывающее независимые переменные, искомую функцию и ее производные.

Определение 12.2. Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным (ОДУ).

Общий вид ОДУ:

(12.9)

Или:

(12.9)

Определение 12.3. Если искомая функция зависит от нескольких переменных, то дифференциальное уравнение содержит частные производные, поэтому называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Определение 12.4. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Пример 12.2.

— ДУ первого порядка.

— ДУ второго порядка.

— ДУ третьего порядка.

Определение 12.5. Решением или интегралом ДУ называется всякая функция , которая будучи подставлена в уравнение, превращает его в тождество.

Общее решение ДУ го порядка:

(12.10)

Определение 12.6. Частным решением ДУ называется решение, получаемое из общего решения при некоторых конкретных числовых значениях постоянных .

Для нахождения частного решения ДУ го порядка в общем случае требуется задать дополнительных условий (условий Коши).

Пример 12.3.

Общее решение ДУ имеет вид: . Начальное условие . Найти частное решение.

Решение:

. Отсюда . Таким образом, частное решение имеет вид:

Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:

(12.11)

Если данное уравнение можно разрешить относительно , то его можно записать в виде:

(12.12)

Общим решением ДУ первого порядка называется функция .

Теорема 12.1. Если в уравнении функция и ее частная производная непрерывны в некоторой области на плоскости , содержащей некоторую точку , то существует единственное решение этого уравнения , удовлетворяющее начальному условию при .

Геометрический смысл теоремы заключается в том, что существует одна функция , график которой проходит через точку .

График каждого частного решения называется интегральной кривой. Поэтому общее решение, содержащее все частные решения, представляет собой семейство интегральных кривых (см. рис. 12.1). В случае уравнения первого порядка это семейство зависит от одной произвольной постоянной.

Задача нахождения решения уравнения (11.12), удовлетворяющего условию Коши, называется задачей Коши — из множества интегральных кривых выделяется та, которая проходит через заданную точку области .

В процессе поиска общего решения ДУ мы можем прийти к соотношению:

, (12.13)

которое неразрешимо относительно . Выразить из соотношения (12.13) в элементарных функциях не всегда удается. В таком случае решение оставляют в неявном виде. При этом выражение (12.13) называется общим интегралом ДУ.