Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

Пусть дано неоднородное линейное уравнение второго порядка:

(13.17)

Структура общего решения такого уравнения определяется следующей теоремой:

Теорема 13.1. Общее решение неоднородного уравнения (12.17) представляется как сумма какого-нибудь частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения:

(13.18)

Таким образом, общее решения уравнения (12.17):

(13.19)

Пусть имеем уравнение

(13.20)

где и — действительные числа.

В случае уравнения с постоянными коэффициентами частное решение неоднородного дифференциального уравнения иногда бывает возможно найти сравнительно просто, не прибегая к интегрированию. Рассмотрим несколько таких случаев.

I. Пусть правая часть уравнения (12.20) представляет собой произведение показательной функции на многочлен, т. е. имеет вид:

(13.21)

где — многочлен й степени. Тогда возможны следующие частные случаи:

а) Число не является корнем характеристического уравнения .

В этом случае частное решение следует искать в виде:

(13.22)

б) Число является однократным корнем характеристического уравнения. Частное решение в этом случае:

(13.23)

в) Число является двукратным корнем характеристического уравнения. В этом случае частное решение будет иметь вид:

(13.24)

II. Пусть правая часть уравнения (13.20) будет иметь вид:

(13.25)

где и — многочлены.

а) Если число есть корень характеристического уравнения, то частное решение уравнения (13.20) следует искать в виде:

(13.26)

где и — многочлены, степень которых равна наивысшей степени многочленов и .

б) Если число есть корень характеристического уравнения, то частное решение уравнения (13.20) следует искать в виде:

(13.27)

При этом во избежании возможных ошибок следует отметить, что указанные формы частных решений (13.26) и (13.27), очевидно, сохраняются и в том случае, когда в правой части уравнения (13.20) один из многочленов и тождественно равен нулю, т.е., когда правая часть имеет вид: или .

Рассмотрим далее важный частный случай. Пусть правая часть линейного уравнения второго порядка имеет вид:

(13.28)

где и — постоянные числа.

а) Если не является корнем характеристического уравнения, то частное решение следует искать в виде:

(13.29)

б) Если является корнем характеристического уравнения, то частное решение следует искать в виде:

(13.30)

Пример 13.3.

.

Решение будем искать в виде: .

Характеристическое уравнение

, (13.31)

Общее решение соответствующего однородного уравнения . Частное решение данного неоднородного уравнения имеет вид многочлена второй степени . Продифференцируем его два раза: ; и подставим , , в левую часть исходного уравнения: . Приравнивая между собой коэффициенты левой и правой части при одинаковых степенях неизвестной, получим систему уравнений, из которой найдем коэффициенты A, B, C:

при ;

при ;

т.е. (13.32)

при ,

Отсюда , , . Тогда и общее решение данного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:

.