Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

В некоторых случаях решения дифференциальных уравнений может быть сведено к последовательному решению двух дифференциальных уравнений первого порядка. Рассмотрим три случая.

1) Если дифференциальное уравнение имеет следующий вид:

(13.3)

то оно решается последовательным интегрированием.

Пример 13.1.

Найти общее решение данного дифференциального уравнения:

Найдем сначала :

. Данный интеграл решается методом интегрирования по частям.

Введем обозначения: , тогда и

Теперь найдем искомую функцию y:

2) Если в запись уравнения не входит искомая функция y(x), т.е.:

(13.4)

то такое уравнение можно решить, если найти сначала вспомогательную функцию .

Пример 13.2

Введем вспомогательную функцию . Исходное уравнение примет следующий вид:

. Полученное уравнение является однородным уравнением первого порядка. Последнее уравнение можно записать в виде:

(13.5)

Пусть . Отсюда:

(13.6)

(13.7)

Подставим (13.5) и (13.6) в (13.4), получим:

. Отсюда:

. Интегрируем левую и правую часть данного уравнения:

. Левый интеграл решается методом замены переменной:

В результате интегрирования находим:

или . Отсюда:

. Вернемся к переменной y:

. Следовательно:

3) Если в уравнение не входит переменная x:

(13.8)

то порядок уравнения можно понизить, если за независимую переменную взять y, а неизвестную функцию – z=y′.