Типовой расчет по теории игр. Тема: кооперативное решение.

Условия задачи.

Экономика состоит из двух агентов, совершающих добровольный обмен на наборах из двух товаров A и B. Функции полезности 1 и 2 агентов заданы уравнениями

, , где - количество товара A у агента i, - количество товара B у агента i. Суммарные количества товаров A и B ограничены: , где - положительные константы. Первоначально 1 агент владеет товарами A и B в количествах соответственно, причем . Агент 2 владеет оставшимися количествами товаров. Агенты вступают в добровольный обмен, увеличивающий их полезности. Решениями называются наборы товаров, поступающих в распоряжения каждого из агентов после обмена. Предполагается, что трансакционные издержки равны нулю, информация агентов совершенна.

Задание.

1. В модели Эджворта найти контрактную кривую, точку угрозы, переговорное множество;

2. В системе координат найти уравнение, связывающее полезности агентов для решений, оптимальных по Парето;

3. В той же системе координат построить кривую оптимальных по Парето решений, найти точку угрозы, переговорное множество;

4. Найти арбитражное решение (решение Нэша);

5. Найти количества товаров A и B, которыми должны владеть агенты согласно арбитражному решению;

6. Показать, что для любого решения, не лежащего на контрактной кривой, найдется другое решение, которое эффективнее по Парето, чем первое.

Указание. Значения констант для каждого из 10 вариантов приведены в следующей таблице в соответствующей строке.

Творческая часть задания. Ответьте на вопросы:

1. Пусть 1^й агент имеет преимущество в переговорной силе, т.е. может диктовать свои условия. Каким в этом случае будет решение игры?

2. Чему при этом будут равны полезности агентов?

3. Почему в этом случае 2^му агенту выгоднее принять условия, которые диктует 1 агент, чем оставаться в начальном положении?

4. Почему агент, имеющий преимущество в переговорной силе, не может захватить все ресурсы в условиях добровольного обмена?

5. Влияет ли соотношение переговорных сил агентов на арбитражное решение?

Литература

1. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: Учебник. – М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, Издательство " ДИС", 1998. – 368 с.

2. Розен В.В. Математические модели принятия решений в экономике. Учебное пособие. – М.: Книжный дом " Университет", Высшая школа, 2002. – 288 с.

3. Дюбин Г.Н., Суздаль В.Г. Введение в прикладную теорию игр – М.: " Наука", 1981.

4. Нейман, Джон фон, Моргенштерн, Оскар Теория игр и экономическое поведение. – М.: " Наука"., 1970.

5. Вилкас Э.Й. Оптимальность в играх и решениях. – М.: Наука. 1990

6. Оуэн.Г. Теория игр. – М.: Мир, 1971.

7. Мулен. Э. Теория игр с примерами из математической экономики. – М.: Мир., 1985.

8. Гермейер Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами. – М.: " Наука", 1976.

9. Жуковский В.И. Кооперативные игры и их приложения./Под ред. В.С. Молоствова. – М.: Эдиториал УРСС, 1990.

10. Шапкин А.С., Шапкин В.А. Теория риска и моделирование рисковых ситуаций: Учебник. – М.: Издательско-торговая корпорация " Дашков и К⁰", 2007. – 880 с.

11. Интриллигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: Айрис-пресс, 2002.

12. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И., Шикин Е.В., Заля. Вся высшая математика Теория вероятностей. Математическая статистика. Теория игр. Том(часть) 5.: Учебник - 3-е изд., исправл. М.: ЛКИ, 2007. – 296с.

Учебное издание

Е.М.Скаржинская

А.С.Илюхина

К.С.Метелькова

" ТЕОРИЯ ИГР ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ "

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

Подписано в печать

Формат 60х90 1/16

Уч.-изд.л.

Тираж

Изд. № 28

КГУ имени Н.А.Некрасова

156961, г.Кострома, ул. 1 Мая, 14

[1] Как мы убедимся позднее, оптимальными стратегиями в этом примере являются доминирующие стратегии.

[2] Парето, Вильфредо (Pareto, Vilfredo) (1848–1923), итальянский экономист и социолог, представитель математической школы в экономике. Парето известен т.н. «законом Парето», описывающим процесс распределения доходов, а также понятием оптимальности по Парето, применяемым в теории игр, микроэкономике и социологии.

[3] Бертран, Жозеф Луи Франсуа (1822-1900), французский математик, иностранный член-корреспондент (1859) и иностранный почетный член (1896) Петербургской АН. Труды по математическому анализу, теории групп. Конкуренция по Бертрану даже в условиях олигополии приводит к тому, что равновесная цена оказывается равной предельным издержкам каждого из дуополистов. (Это имеет место только в условиях совершенной конкуренции).

[4] См. Пиндайк Роберт С., Рубинфельд Дэниел Л. Микроэкономика: Пер. с англ. – М.: Дело, 2000, С. 544-545.

[5] Там же, С. 545-546

[6] Курно, Антуан Огюстен (Cournot, Antoine Augustin) (1801–1877), французский экономист, философ и математик. Курно был первым автором, который дал определение функции спроса и начертил ее график. Курно также был первым экономистом, разработавшим модели монополии и дуополии.

[7], где n – количество участников игры, – полезность i -го игрока, – полезность i -го игрока в точке угрозы.