Определение предела функции

Число называется пределом функции при , если для любого сколь угодно малого найдется , такое что для всех значений , удовлетворяющих неравенству , выполнено неравенство .

При этом пишут или . В символах математического анализа определение может быть записано так:

.

Выше приведено определение для случая конечных значений и . Оно может быть переделано для случаев, когда или обращаются в бесконечность . При этом соответствующие неравенства должны быть заменены на неравенства типа , если , , если , , если и т.п.

Переменная величина называется бесконечно малой величиной при , если .

Пусть , где – конечные числа, – любое конечное число или бесконечность.

Теоремы о пределах:

1. .

2. .

3. Если .

4. Пусть – конечное число. Тогда:

а)

б)

в) .

5. Пусть , тогда . ●

Функция называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и . Для непрерывной функции возможен переход к пределу под знаком функции.

Предельные переходы, содержащие нуль или бесконечность, при кратко можно записать так:

, (1)

где выражение, заключенное в квадратные скобки, понимается как предельное значение. Выражения вида:

, (2)

─ называются неопределенностями, что означает, что нельзя дать ответ, используя правила (1), Например, рассмотрим три функции: при . Отношение любых двух функций из указанных трех приводит к неопределенности . Однако, пределы этих отношений различны, например:

, , .

Неопределенности (2) всегда можно перевести из одной в другую. Кроме указанных выражений неопределенностями являются предельные выражения:

.

При вычислении пределов сначала подставляется предельное значение переменной. Если выполнены условия теорем, то сразу получаем ответ. Если при подстановке получается неопределенность, то следует предварительно преобразовать выражение, а затем подставить предельное значение.

Рассмотрим несколько примеров на вычисление пределов.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13.

В примерах 1─ 3, 6─ 8 можно сразу записать ответ. В остальных примерах первая подстановка приводит к неопределенности, поэтому: сначала проводим преобразование. Так в примере 13 мы умножили числитель и знаменатель на сопряженное выражение, что позволило затем сократить дробь. Обратите внимание, что выражение , и это позволило вынести множитель за знак предела.

Проанализировав решения примеров 9–11, замечаем, что при вычислении пределов типа , приходим к пределу отношения членов со старшими степенями. Окончательный ответ зависит от соотношения степеней. Аналогичная ситуация и для выражений, содержащих дробные степени или радикалы.

Например, вычисляя , приходим к неопределенности . Выбрав в числителе и знаменателе слагаемые со старшими степенями . получаем решение:

.