Производная функции

Пусть функция определена в точке и ее окрестности. Если существует конечный предел

, (3)

то этот предел называется производной функции в точке и обозначается или .

При существовании односторонних пределов или говорят о существовании односторонних производных.

Функция, имеющая в каждой точке промежутка конечную производную, называется дифференцируемой функцией на этом промежутке.

Вычисляется производная с использованием таблицы производных и согласно правилам дифференцировании.

		Правила дифференцирования
const		I. . II. . III. . IV. . V. . VI. (дифференцирование сложной функции)/ VII. .   АЛГОРИТМ вычисления производных: · Найти последнее действие (функцию). · Применить формулы I–V. · Применить таблицу производных. Замечание. Выражения , следует предварительно преобразовать по формулам: ; ; ;

Производная от первой производной называется второй производной или производной второго порядка и обозначается или . Аналогично определяются производные более высоких порядков.

Геометрический смысл производной. Пусть функция непрерывна на промежутке в окрестности точки , а график функции имеет в этой точке касательную, не параллельную оси . Тогда

, (4)

где – угол между положительным направлением оси и касательной (рис. 1).

Рис. 1

Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид

. (5)

Пример 3. Найти производную функции в точке .

Решение. . .

Пример 4. Найти производную функции в точке .

Решение. Заданная функция – сложная. Используем формулу дифференцирования сложной функции.

Тогда .