Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Теорема. Непрерывная на отрезке функция достигает на этом отрезке своих наибольшего и наименьшего значений. Наибольшее и наименьшее значения функция имеет либо в точках экстремума, либо на концах отрезка.

Согласно этому утверждению можно использовать следующий алгоритм исследования на нахождение наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке:

1) проверить непрерывность функции на отрезке;

2) определить точки, подозрительные на экстремум;

3) вычислить значения функции в точках п. 2 и на концах отрезка;

4) выбрать наибольшее и наименьшее значения функции из значений п. 3;

5) записать ответ.

Пример 5.13. Найти наибольшее и наименьшее значения функции , заданной на отрезке .

Решение.

1. Функция непрерывна.

2. Вычислим производную и, приравняв ее к нулю, найдем точки, подозрительные на экстремум: . Других точек, подозрительных на экстремум нет. Точка не принадлежит заданному отрезку, следовательно, остаются две точки внутри области и граничные точки, в которых и вычислим функцию.

3. .

4. Выбираем наибольшее и наименьшее значения: .

Ответ: .

Пример 10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции , заданной на отрезке .

Решение.

1. Функция непрерывна.

2. Вычислим производную и, приравняв ее к нулю, найдем точку, подозрительную на экстремум: . Кроме этой точки есть еще точка , в которой возможен экстремум, так как в этой точке не существует конечная производная.

3. Вычислим значения функции в найденных точках и на концах отрезка:

.

4. Выбираем наибольшее и наименьшее значения.

Ответ: .