Замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых величин

В приведенных выше примерах нам было достаточно несложных алгебраических преобразований для получения ответа. Иная ситуация возникает, если выражение содержит трансцендентные функции, типа синуса, логарифма и другие. В этом случае нам помогут некоторые пределы, называемые в математике «замечательными» пределами и сравнение бесконечно малых величин между собой.

Первый замечательный предел: ,

Второй замечательный предел: , или , - иррациональное число.

Сравнение бесконечно малых величин между собой определяется через предел их отношения. Пусть и бесконечно малые величины при . Правила сравнения запишем в таблицу:

	Величины одного порядка малости
	Эквивалентные величины	. Читается: эквивалентно при .
	Величина имеет больший порядок малости по сравнению с величиной	. Читается: есть - малое по сравнению с при .
не существует	Величины не сравнимы между собой

На основании замечательных пределов можно получить таблицу эквивалентных величин при .

Заметим, что слева в формулах стоят различные функции, а сравниваются все они со степенной функцией, наиболее простой для работы.

Примеры сравнений:

.

Теорема. Пустьпри . Тогда справедливы равенства:

, . ●

Примеры на вычисление пределов с использованием таблицы эквивалентных величин:

, .

Если при вычислении пределов с неопределенностью переменная стремится к числу, отличному от нуля, то для возможности использовать таблицу, сначала необходимо сделать замену переменной. Например:

.

Пояснения к решению примера. Подставив предельное значение в заданный пример, получили неопределенность вида , т.е. отношение бесконечно малых величин. Но таблицей воспользоваться нельзя, так как таблица справедлива только для случая, если переменная стремится к нулю. Сделаем замену переменной (замена выделена вертикальными линиями) и преобразуем выражение. Подставив новую переменную в выражение для предела, снова получаем неопределенность , но теперь мы уже могли воспользоваться таблицей эквивалентных величин, что и было сделано.

Вычисление пределов при неопределенности . Можно предложить несколько способов. Рассмотрим пример: вычислить . Непосредственная подстановка предельного значения приводит к неопределенности .

Первый способ – логарифмировать заданное выражение. Обозначив заданную функцию , получаем

,

.

Следовательно, .

Второй способ ─ построение выражения в виде :

.