Методы построения обобщенного критерия, свертки критериев.

Процедура, которая агрегирует набор оценок по заданным локальным критериямв единую числовую оценку, выражающую итоговую оценку этого набора оценок для ЛПР.

Формально критерий задается:

ф*Y = Произвед(по i от 1)Yi-> R

Отображение, сохраняющее исходную упорядоченность альтернатив. Если y> =y’, то ф(y)> = ф(y’)

Недостаток: Эффект = результаты / затраты = R/C. Чем больше эффект, тем лучше.

Наиболее распространенные обобщ критерии:

1) Максиминная свёртка ф(а) = min f_i(a) -> max

2) Квалифицированная свертка (перехход к безразмерным величинам)

Для каждого критерия вводится эталон gamma_i*

Желательное или более верное значение оценочного показателя абсолютное меняется относительно эталанного.

f_i(a)/gamma_i* ~1

ф(а)=min f_i(a)/gamma_i* -> max

3) Аддитивная свертка

В качестве оценочного показателя

ф(а) = Sum(i=1 to m) alpha_if_i(a)

alpha_i- весовые коэф.критериев.Каждый коэф. неотриц, в сумме = 1

4) Мультипликативная свёртка

ф(а) = Произвед(i=1 to m)(f_i(a)) ^alphai

Используется когда каждый локальный критерий критически важен и обращение хотя бы одного из них в 0 не дает результат.

Ее приводим к аддитивной логарифмируя.

Самая большая проблема – выбор весовых коэффициентов (субъективизм)

6. Метод приоритетов (метод Саати): определение значимости критериев, согласованность матрицы парных сравнений, определение весовых коэффициентов методом собственного вектора.

Метод анализа иерархий. Предназначен для ранжирования объектов {p1, …, pm}, определения их приоритетов α ₁,.., α _m, удовлетворяющим α _i> 0, Sum(1 to n) α _i = 1. Ранжирование в том, что объект, имеющий больший приоритет является более значимым. Пусть приоритеты известны. Составим матрицу (матрица отношений)

α ₁/α ₁ α ₁/α _{2 ….} α ₁/α _m

А = α ₂/α ₁ α ₂/α _{2 ….} α ₂/α _m

_…

α _m/α ₁ α _m/α ₂ α _m/α _m

Ее элементы показывают, во сколько раз один объект предпочтительнее другого.

Матрица отношений обладает свойством, что вектор приоритетов α _{= {}α _{i }}

Является собственным вектором матрицы, отвечающий собсвенным числам λ =m: Aα = m α

На практике задача такая: на основе экспертной информации определить степень првосходства одного объекта на другим. Результат – матрица парных сравнений. А сама оценка производится по шкале Саати.

Колич оценка ------ Качественное описание

1: Равная важность объектов p_i и p_j

3: Умереннное превосходство

5: Существенное превосходство p_i над p_j

7: Значительное превосходство

9: Подавляющее превосходство

0, 2, 4, 6, 8: ПРомежуточные оценки.

Если поменять местами эти объекты – приписываются обратные величины.

По способу построения матрица парных сравнений является полижительной и обратно симметричной (a_ij = 1/a_ji). Для отображения непротиворечивости суждения, она должна иметь свойство согласованности.

С математич точки зрения согласованность означает а_ik * a_kj = а_ij

Т.е. если i-й объект предпочтительнее k-го в а_ik, а он предпочтительнее j-го в a_kj раз, то i-й предпочтительнее j-го в а_ij раз

Необх свойство согласованности из лин алгебры: если A = {a_ij}, то существуют такие положительные α, что a_ij = α _i/α _j

Матрица отношений, построенная на основе известных приоритетов, идеально согласованна по способу своего построения (см. Матрицу отношений)

Патрица парных сравнений, кот строится на основе экспертных суждений может не оказаться идеально согласованной. Важно, чтоб степень несогласованности была приемлимой.

Свойство согласованности предполагает наличия лин зависимости строк и столбцов, т.к. столбцы симметричной матрицы линейно зависимы для ранжированых объектов??? явл идеально согласованн.

В более сложных случаях согласованность нуждается в доп проверке, кот базируется на 2 фактах из матричной алгебры:

1)

Это означает, что для идеально согл матрицы наибольшее собственное число равно m, остальные не равны 0.

2) Собственные числа произвольной матрицы явл непрерыв функциями ее элементов, т.е. при небольшой вариации элементов собств часла меняются не сильно.

В соотв с методов Саати для проверки согласованности вычисляется коэф согласованности CR = CI/RI

CI – индекс согласованности

RI – стохостический индекссогласованности, на основе анализа большого числа случайно сгенерированных матриц парных сравнений.

RI = (1.98 (m-2))/m

CI = (λ _max=- m)/(m-1)

Если CR< 0.1, то степень согласованности является приемлимой и приоритетам по Саати можно доверять. На практике собственный вектор матрицы парных сравнений и собственные числа находятся приближенно по следующему алгоритму:

По матрице A = {a} отображаем матрицу N = {n} (нормализованная матрица) делением каждого элемента А на сумму столбца, где находится элемент.

Если в матрице N все слобцы одиковы, то матрица А является идеально согласованной и любой столбец ожет быть выбран в качестве вектора приоритета (собств вектор). В противном случае элементы N усредняют по строкам и используют в качестве приближенного вектора приоритетов.

Наиболее часто λ _maxнаходят из след: по определению оно является решением уравнения , которое равносильно системе линейных уравнений, где i-e уравнение имеет вид:

Просуммировав уравнения, получим

Для того, чтобы найти λ _max, необходимо матрицу парных сравнений А умножить на приближенный вектор приоритетов и в получившемся столбце в се элементы сложить.