Матричная игра как модель антагонистического конфликта.

Антогонистическим называется конфликт, в котором интересы участников противоположны.

H₂(S) = -H₁(S); H₁(S) + H₂(S) = 0

Если каждый из игроков имеет конечное число стратегий, то игра называется матричной.

Пусть 1й игрок имеет m стретегий, i=1..m

2й имеет n. j=1..n

Выбор каждого из игроков его стратегии приводит в формированию игровой ситуации.

H₁(i, j) = a_ij - выигрыш первого игрока

Числа a_ij в совокупности образуют матрицу А размером mxn, это матрица игры (или платежная матрица). Она содержит всю информацию о ПР.

Задача первого состоит в максимизации его выигрыша. 2-го - минимизации выигрыша 1го. Игроки решают противоположные задачи (матрица симметричная или нет?)

Средство достижения игроком цели – выбор его возможной стратегии. Для их оценки необходимы критерий, позволяющий сравнивать исходы ПР.

Обычно выбор критерия, по которому находят оптимальное решение, определяется количественной и качественной информацией.

Матрица игры – предельный? случай полного отсутствия информации о действиях другой стороны: каждый из них знает стратегии другого, но не знает, какая будет выбрана.

Рационально ориентироваться на наихудший вариант исхода событий.

(тут типа матрица А с элемантами a_ij и размерностью m на n)

Рассмотрим первого игрока (с его стратегиями связаны строки).

i-ю стратегию он оценивает наименьшим выигрышем, который гарантируется ему при любых действиях 2-го игрока. alpha_i = min a_ij, j=1..n.

Будет выбрана та, стратегия, которая удовлетворяет максимуму гарантированного выигрыша. alpha = max alpha_i = max min a_ij

Это максиМин, или нижняя цель игры. Стратегия, где достигается нижная цель игры, называется максиминной.

Рассмотрим второго игрока.Оценивается развитие конфликта по наихудшему варианту второго игрока. Вычисляют beta_j = max a_ij; i=1..m. Будет выбрана та, стратегия, которая составляет минимум гарантированного выигрыша. Beta = min beta_j = min max a_ij // минимаксная стратегия второго игрока.

Минимаксная и максиминная стратегии игроков – это их оптимальные стратегии и образуют ситуацию равновесия.

Т.е. ситуация равновесия тогда, когда минимальный элемент в своей строке соответствует максимальному элементу в столбце, а Alpha = Beta.

Если alpha < beta, 1й игрок может обеспечить себе выигрыш alpha, а второй позволит выиграть ему не больше beta. Вопрос о разделе разницы остается открытым (beta – alpha > 0). В подобных ситуациях игроки будут искать дополительные стратегические возможности получения большей четкости разницы.

В таких случаях (осущ возможностей) логично переходить к смешанным стратегиям, которые ассоциируются со случайным выбором игроком своих

индивидуальных стратегий.

Такие действия:

1) Обеспечить наибольшую скрытность выбора стратегии.

2) При разумном построении механизма случайного выбора, смешанные стратегии оказываются оптимальными, т.е. составляют ситуацию равновесия.

9. Методы решения матричных игр: равновесие в чистых стратегиях, доминирование стратегий, смешанные стратегии.

Если alpha < beta, 1й игрок может обеспечить себе выигрыш alpha, а второй позволит выиграть ему не больше beta. Вопрос о разделе разницы остается открытым (beta – alpha > 0). В подобных ситуациях игроки будут искать дополительные стратегические возможности получения большей четкости разницы.

В таких случаях (осущ возможностей) логично переходить к смешанным стратегиям, которые ассоциируются со случайным выбором игроком своих

индивидуальных стратегий.

Такие действия:

3) Обеспечить наибольшую скрытность выбора стратегии.

4) При разумном построении механизма случайного выбора, смешанные стратегии оказываются оптимальными, т.е. составляют ситуацию равновесия.

Пусть 1й игрок – m чистых стратегий. Его смешанная стратегия называется вектор X = (x1, x2,.., xm) – компоненты которого интерпритируются как вероятности выбора первым игроком его чистых значений xi> =0, сумма компонентов = 1.

Второй игрок – то же самое, только игреки (Y).

При переходе к смешанных стратегиям, любая игровая ситуация рреализуется с вероятностью xi*yj и является случайным событием.

Средний ожидаемый выигрыш 1го игрока – платежная функция H(X, Y) = Sum(i=1to m)Sum(j=1 to n) [a_ij * x_i * y_j]

Если в матрице H??? элемента почти никогда не существует, то функция игры имеет седловую точку H(X*, Y*).

H(X, Y*)< = H(X*, Y*) < = H(X*, Y) – седловая точка соотв максимуму Х и минимуму по Y.

(X*, Y*) – наз оптимальными стратегиями 1го и второго игрока и в совокупности формируют ситуацию равновесия.

Значение функции игры H(X*, Y*)= v = цена игры.

Совокупность ситуаций равновесия и цен игры составляют решения игры. Оптимальные смешанные стратегии всегда можно найти как решение задач линейного программирования.

Размерность задач лучше снизить.

Пусть игра определяется матрицей А(mxn) = {aij}

1й игрок: стратегия i > k если при любом j=1..m существует aij > = aki и aij > aji

2й игрок: стратегия j > l(L) если при любом i=1..m существует aij > = ail и aij > ajl

Доминирующие стратегии входят в оптимальные смешанные стретгии с нулевой вероятностью и из дальнейшего рассмотрения мб исключены.