Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач. Определение 1. Системы уравнений, содержащие неизвестные только в первой степени называются линейными.

Определение 1. Системы уравнений, содержащие неизвестные только в первой степени называются линейными.

Рассмотрим систему уравнений, у которой число уравнений равно числу неизвестных

, (1)

где х ₁, х ₂, …, х_п – неизвестные, а ₁₁, а ₁₂, …, а_пп – коэффициенты (заданные числа), b ₁, b ₂, …, b_n – свободные члены (заданные числа). Система называется неоднородной в которой хотя бы один из свободных членов не равен нулю.

Если в (1) все свободные члены равны нулю, то система, имеющая вид

(2) называется однородной.

Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера

Введем обозначения:

- главный определитель системы (1);

, , …,

∆ ₁, ∆ ₂, ∆ ₃, …, ∆ _п – дополнительные определители, которые получаются из ∆ путем замены столбцом свободных членов элементов соответственно первого, второго, …, п – го столбцов.

Тогда формулы Крамера запишутся в виде (3)

Теорема. (о решении неоднородной системы). Возможны несколько случаев:

а) Если главный определитель системы (1) ∆ ¹ 0, то она имеет единственное решение.

б) Если ∆ = 0 и все дополнительные определители равны нулю, то система (1) имеет бесчисленное множество решений.

в) Если ∆ = 0 и хотя бы один из дополнительных определителей не равен нулю, то система (1) решений не имеет и называется несовместной.

Пример 1.

Решение: Обозначим - матрица системы. Найдем определитель системы , следовательно, по теореме Крамера система имеет единственное решение.

Вычислим определители матриц , полученных из матрицы А, заменой соответственно первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов:

.

Чтобы получить определитель , мы заменили в определителе первый столбец на столбец из свободных членов; заменяя в определителе 2-ой столбец на столбец из свободных членов, получаем ; аналогичным образом, заменяя в определителе 3-ий столбец на столбец из свободных членов, получаем . Решение системы по формулам Крамера: .

Решение систем линейных уравнений по методу Гаусса.

Решение:

Составим расширенную матрицу и приведём её к треугольному виду с помощью элементарных преобразований.

Вернёмся к системе уравнений:

Ответ: x₁=1; x₂=2; x₃=-2.

Задание для практической работы:

Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3
Вариант 4	Вариант 5	Вариант 6
Вариант 7	Вариант 8	Вариант 9
Вариант 10