![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Построение главных компонент
Найдем дисперсию первой главной компоненты
где Согласно определению первой главной компоненты, для её построения необходимо максимизировать дисперсию:
Для решения задачи условной оптимизации (5.2) воспользуемся методом множителей Лагранжа. Составим функцию Лагранжа:
Воспользуемся необходимым условием существования экстремума функции, получим:
Так как второе выражение является тождеством согласно постановке задачи, то имеем следующую систему уравнений:
Система (5.3) – это однородная система k -линейных уравнений с k неизвестными
Уравнение (5.4) называется характеристическим для матрицы Пусть
Таким образом, для построения первой главной компоненты необходимо выбрать наибольшее собственное число Известно, что собственные векторы, соответствующие разным собственным числам, ортогональны. Тогда для построения второй главной компоненты должен быть выбран второй по величине характеристический корень матрицы Рассмотрим случай, когда корень характеристического уравнения (5.4) имеет кратность порядка r. Пусть Замечание: если исходные признаки измеряются в различных единицах, то результаты исследования с помощью главных компонент будут существенно зависеть от выбора масштаба и природы единиц измерения. Поэтому в подобных ситуациях рекомендуется переходить к безразмерным признакам, т.е. помимо центрирования, проводить еще нормирование. Вследствие предположения о центрированности и нормированности исходных признаков в процессе построения главных компонент будут определяться собственные числа и собственные векторы не ковариационной матрицы
|