Постановка задачи факторного анализа. Линейная модель факторного анализа

Рассмотрим случайный вектор . Если не отличаются масштабом измерения, то будем считать, что исходные признаки центрированы, т.е. , . Если исходные признаки отличаются масштабом измерения то исходные признаки необходимо центрировать и нормировать, потому будем считать, , , . Число признаков k велико. Ставится задача снизить размерность признакового пространства.

Факторный анализ представляет собой совокупность методов, которые на основе реально существующих связей анализируемых признаков позволяют выявить скрытые обобщающие характеристики изучаемых явлений, процессов. Выделяют следующие группы методов факторного анализа [51, 43]:

1. упрощенные методы факторного анализа (однофакторная модель Ч. Спирмена, бифакторная модель Г. Хользингера, центроидный метод Л. Тэрстоуна);

2. современные аппроксимирующие методы факторного анализа (метод главных факторов Г. Томсона, групповой метод Л. Гутмана и П. Хорста);

3. методы с повышенными аппроксимирующими свойствами (метод максимального правдоподобия Д. Лоули и Д. Максвелла, метод минимальных остатков Г. Хармана, метод двухфакторного анализа Г. Кейзера и И. Кэффри, метод канонического факторного анализа К. Рао).

Остановимся на одном из самых распространенных методов факторного анализа – методе общих факторов и его частном случае – методе главных факторов Г. Томсона [21, 24].

Будем каждый из k исходных признаков представлять в виде линейной комбинации новых неизвестных непосредственно не измеримых признаков (m общих факторов и одного характерного фактора):

, , (5.11)

где – r -ый общий фактор, ;

– i -ый характерный фактор;

– весовой коэффициент i -го признака на r -ом общем факторе;

– весовой коэффициент i -го признака на i -ом характерном факторе.

Таким образом, i -ый исходный признак представляется в виде линейной комбинации m общих факторов и одного характерного фактора . Относительно общих факторов и характерных факторов не нарушая общности будем предполагать, что общие и характерные факторы являются центрированными и нормированными, т.е. , , , , , .

Проиллюстрируем сказанное выше элементарным примером. Пусть . Тогда признаки и можно представить в виде линейного комбинации одного общего фактора и одного характерного фактора следующим образом: ; . Представление исходных признаков и в пространстве одного общего и двух характерных факторов изображено на рисунке 5.2.

Рисунок 5.2 – Представление исходных признаков и в пространстве общего и характерных факторов

Таким образом, признак лежит в плоскости, образованной и , а признак – в плоскости, образованной и . На общие и характерные наложим следующие естественные требования: характерные факторы должны быть некоррелированными между собой и с общими факторами, т.е. , , и , , .

Перепишем линейную модель факторного анализа (5.11) в векторно-матричном виде. Для этого введем в рассмотрение следующие матрицы и векторы:

– матрица весовых коэффициентов при общих факторах;

– матрица весовых коэффициентов при характерных факторах;

– матрица весовых коэффициентов при общих и характерных факторах;

– вектор общих и характерных факторов.

Тогда линейная модель факторного анализа имеет вид:

или (5.12)