Матрица нагрузок и её свойства

Будем исходить из того, что исходные признаки центрированы и нормированы, т.е. , где , . Выражение связывает главные компоненты с исходными центрировано-нормированными признаками. При m = k можно записать: . Найдем выражение, связывающее центрировано-нормированные главные компоненты с исходными центрировано-нормированными признаками. Введем в рассмотрение матрицы и :

, .

Обозначим центрировано-нормированные главные компоненты через , , . Пусть . Выразим из полученного выражения вектор исходных признаков: .

Матрица называется матрицей нагрузок и является одной из важнейших характеристик главных компонент, используемой для интерпретации новой системы признаков.

Рассмотрим свойства матрицы нагрузок A. Элемент , , , характеризует:

1) удельный вес влияния центрировано-нормированной j -ой главной компоненты на признак , т.е. ;

2) степень тесноты линейной связи между центрировано-нормированным исходным признаком и j -ой главной компонентой , т.е. .

Докажем эти свойства. Ранее было показано, что . Таким образом, i -ый исходный признак можно представить в виде линейной комбинации центрировано-нормированных главных компонент:

,

т.е. действительно определяет удельный вес влияния j -ой нормированной главной компоненты на i -ый исходный признак.

Определим коэффициент корреляции между i -ым центрировано-нормированным исходным признаком и j -ой главной компонентой . Так как , и , то:

т.е. действительно определяет величину парного коэффициента корреляции между i -ым центрировано-нормированным исходным признаком и j -ой главной компонентой.

Отметим еще два свойства матрицы нагрузок A:

1. , т.е. сумма квадратов элементов j -го столбца матрицы A равна дисперсии j -ой главной компоненты , ;

2. если исходные признаки центрированы, то . Если исходные признаки центрировано-нормированы, то , т.е. при m = k сумма квадратов элементов i -ой строки матрицы нагрузок А равна 1, .