Особенности принятия решений при многих критериях.

Многокритериальность может быть обусловлена одной из трех причин:

1. Цель не может быть адекватно представлена (покрыта) одним критерием.

2. Принимающий решения ставит более одной цели, которые связаны общими активными средствами.

3. Решения принимаются группой лиц с несовпадающими интересами.

В формальном представлении критерии (целевые функции), по которым оценивается решение Х, будет записываться в виде f_i (Х), .

Критерий f_i называют также частными. Примем, что для всех i чем больше значение критерия, тем лучше. Тогда задача многокритериального математического программирования запишется в виде:

max{ f ₁(X)= y ₁},

max{ f ₂(X)= y ₂},

.......

max{ f_m (X)= y_m },

Х D,

где D – множество допустимых решений. Т.е. задача состоит в максимизации вектора критериев f (X)=Y по X D.

Существенное отличие этой задачи от традиционной однокритериальной состоит в понятии оптимальности. В однокритериальной задаче под оптимальным понимается решение, обеспечивающее максимальное значение критерия. При многих критериях увеличение одних критериев приводит к уменьшению других (редкие исключения не представляют практического интереса) и поэтому понятие оптимальности требует принципиальных уточнений. Очевидно, что без дополнительной информации о предпочтениях ЛПР бессмысленно говорить об оптимальном решении и тем более формализованно искать его.

Допустимое множество D строится в n -мерном пространстве переменных. Каждое решение X D полностью характеризуется соответствующими значениями всех частных критериев, т.е. вектором Y. Числовое m -мерное пространство E ^m, координатами которого являются y_i=f_i (X), называется критериальным пространством. Очевидно, что каждому Х можно поставить в соответствие точку в критериальном пространстве. Если же решение Х допустимо, то соответствующая точка в E ^m, определяемая вектором Y, является достижимой. Множество таких точек в критериальном пространстве называется множеством достижимости (достижимых векторов). Таким образом, векторная функция f (X) отображает допустимое множество D на множестве достижимости G:

и задача состоит в выборе вектора из этого множества, наилучшего с точки зрения ЛПР.

В общем случае построение множества G для реальных задач весьма проблематично, но для задач с «хорошими» свойствами, например, линейных, множество достижимости может быть построено.

Рассмотрим пример с двумя критериями (рис10.1). Независимо от предпочтений ЛПР, вектор критериев, соответствующий точке 2, лучше, чем в точке 1. Аналогично, точка 3 лучше точки 2, а 4 лучше 3. Но точки 4 и 5 оказываются не сравнимыми, так как по первому критерию лучше точка 5, а по второму – точка 4. Как для точки 5, так и для 4 на множестве G можно найти лучшую точку, например 6. Нетрудно убедиться в том, что для любой точки Y внутри G найдется точка, которая ее доминирует, т.е. лучше хотя бы по одному частному критерию и не хуже по всем другим. В то же время для точек 6 или 7 этого сделать нельзя. Более того, не найдется вектора из G, который доминировал бы точку, принадлежащую северо-восточной границе AB множества G. Таким образом, векторы на АВ являются недоминируемыми (неулучшаемыми). Одновременно они являются несравнимыми между собой (например, в точках 6 и 7), поэтому отдать предпочтение одному из них без ЛПР невозможно. Такие точки (векторы критериев и соответствующие решения) называют эффективными или оптимальными по Парето. Их совокупность образует множество Парето (паретовское множество).

Оптимальное решение следует искать только среди эффективных точек. При групповом принятии решений множество эффективных точек называют также переговрным, подчеркивая тем самым, что только их и нужно рассматривать в качестве претендентов на компромиссное решение. Если эффективная точка одна (А на рис.10.2), что возможно в тривиальном случае непротиворечивости критериев, то она и является искомым оптимумом. В задачах с конечным числом точек G (дискретные задачи) выделение эффективного множества часто настолько уменьшает число вариантов, что выбор из них наилучшего не вызывает затруднений у ЛПР.

Однако при непрерывном и тем более невыпуклом множестве G паретовское множество имеет сложную структуру и его исследование требует специальных методов.