Предел функции.

ПРЕДЕЛЫ. ПРОИЗВОДНЫЕ.

Контрольная работа по математике для заочного отделения.

Миронова Е.А.

Юлина Н.А.

г. Ковров 2013 г.

Методические указания предназначены в качестве пособия для студентов заочного отделения технических специальностей. Содержат в себе сжатый теоретический материал и индивидуальные задания к первой контрольной работе по математике.

Предел функции.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой этой точки.

Число называется пределом функции при , если для любого положительного числа найдется такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Записывают: .

Перечислим свойства пределов функции, которые облегчают решение задачи отыскания пределов:

1. , где .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. если и , то .

При этом предполагается, что все пределы существуют. Точка может быть как действительным числом, так и .

Если при отыскании пределов функций возникает ситуация, когда невозможно напрямую применить вышеперечисленные свойства, то имеет место неопределенность и возникает задача раскрытия неопределенности.

Наиболее часто встречаются неопределенности вида: , , , .

Рассмотрим некоторые методы раскрытия этих неопределенностей.

1.1 Неопределенность . Отношение многочленов.

Если P_n (x) и Q _m (x) – многочлены степени n и m, и и , то при вычислении имеем неопределённость . Для её раскрытия делим числитель и знаменатель на х в наибольшей степени. При этом стоит помнить, что и .

1.2 Неопределенность .

а) Отношение многочленов.

Если и , то при вычислении имеем неопределённость вида . Для её раскрытия необходимо числитель и знаменатель разложить на простейшие множители, т.е. представить функции и в виде: и , где и .

Тогда

При этом .

б) Первый замечательный предел.

Для отыскания пределов функций вида (здесь – некоторая функция) может быть использован так называемый первый замечательный предел

. (1.1)

в) Общий случай.

Если , то называется бесконечно малой функцией (б.м.ф.) в окрестности точки .

Две б.м.ф. и называются эквивалентными б.м.ф. в окрестности точки , если , и обозначают , при .

Стоит отметить, что предел отношения двух б.м.ф. не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей б.м.ф., т.е. если и , то

. (1.2)

Приведем таблицу важнейших эквивалентностей при

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

1.3 Неопределенность .

Если и , то при вычислении получим неопределённость . Решая поставленную задачу необходимо при помощи алгебраических преобразований свести эту неопределённость к виду или .

1.4 Неопределенность .

В этом случае наряду с уже рассмотренными методами можно применить так называемый второй замечательный предел:

. (1.3)